1. Линейные дифференциальные уравнения
Предполагая, что
- оригинал, а
- постоянные, рассмотрим уравнения
вида:
.
Пример 1.1. Методами
операционного исчисления найти решение
задачи Коши:
Решение. Обозначим
через
изображение
для решения
.
Пусть для правой
части
.
По теореме о дифференцировании оригинала
,
,
… ,
.
По свойству линейности
Составляем операторное уравнение
Если
обозначить через
характеристический многочлен
,
а через
- многочлен
-й
степени относительно
, то
.
Ответ:
,
где
,
,
.
Пример 1.2. Методами
операционного исчисления найти решение
задачи Коши:
Решение. Обозначим через изображение для решения .
Для правой части
.
По теореме о дифференцировании оригинала
,
,
.
По свойству линейности
Составляем операторное уравнение
Отсюда
и
.
Восстановим оригинал элементарным методом. С этой целью представим правую часть в виде суммы элементарных дробей:
.
Отсюда
.
Из тождества при
,
,
получим систему
Приравнивая
коэффициенты при степени
в тождестве, получим четвертое уравнение:
.
Следовательно,
,
,
,
.
.
Таким образом
.
Пример 1.3.
Предполагая, что
- оригинал, с помощью интеграла Дюамеля
найти решение задачи Коши:
Решение. Сначала
найдем решение
другой задачи Коши:
Как было показано в примере 1.1
,
где
,
а в нашем случае
,
,
так
как
.
Поэтому
.
(1.1)
С другой стороны, для решения исходной задачи имеем
, (1.2) где , , .
Из (1.1) и (1.2) следует
.
Отсюда с помощью интеграла Дюамеля
получим
.
Ответ:
.
Пример 1.4. С помощью интеграла Дюамеля найти решение задачи Коши:
Решение. Сначала найдем решение другой задачи Коши:
Как было показано
в примере 1.1, имеет место
.
Восстановим оригинал элементарным
методом:
.
Отсюда
.
Полагая
,
,
в тождестве, получим
,
,
.
Так как
,
то
.
Заметим, что
.
Из результата примера (1.3) следует, что
.
Для простоты изложения найдем неопределенный интеграл
.
По правилу интегрирования рациональных дробей выделяем целую часть
,
затем раскладываем на
элементарные дроби
по
методу неопределенных коэффициентов.
При этом справедливо
.
Полагая в тождестве поочередно
,
,
находим
,
.
Следовательно,
.
Возвращаясь к исходной переменной, получим
.
Отсюда
.