5.2. Восстановление оригинала по изображению
Восстановление
оригинала по изображению
Восстановление
оригинала по изображению
,
где
и
- многочлены и
проводится по схеме:
1. Находим
корни
уравнения
.
2. Разлагаем рациональную дробь на сумму элементарных дробей.
3. Восстанавливаем оригинал для каждой элементарной дроби, используя свойства преобразования Лапласа и известные изображения.
4. Из свойства линейности преобразования Лапласа находим искомый оригинал.
Замечание. Указанный способ восстановления оригинала носит название элементарного.
Пример
5.2.1.Найти оригинал изображения
элементарным методом.
Решение. Находим
корни
,
уравнения
.
Разлагаем рациональную дробь
на сумму элементарных дробей
.
Восстанавливаем оригинал для каждой
элементарной дроби:
,
.
Используя линейность преобразования
Лапласа, находим искомый оригинал
-
.
Пример 5.2.2. Найти
оригинал изображения
.
Для нахождения f(t)
элементарным методом преобразуем
дробь, определяющую F(p):
.
Восстановление оригинала по изображению с помощью теоремы Бореля об изображении свертки
Напомним, что изображение свертки (теорема Бореля):
.
Пример
5.2.3.
Восстановить
оригинал
с
помощью теоремы Бореля об изображении
свертки.
Решение.
Представим
в виде произведения правильных дробей:
.
Находим
по таблице
,
.
По
теореме
Бореля об изображении свертки
.
Вычисляем
.
По отдельности находим циклические
интегралы:
Отсюда
.
Аналогично,
Поэтому
.
Следовательно,
.
Восстановление оригинала по изображению с помощью теоремы разложения
Напомним теоремы разложения:
1. , (5.2.1) где ( ) все особые точки функции .
Если функция F(p) разлагается в ряд по отрицательным степеням p и, кроме того при , то эта функция является изображением и может быть представлена в виде .
Оригиналом для F(p) служит функция f(t), определяемая при t > 0, сходящимся рядом
Пример 5.2.4. Найти
оригинал для изображения
.
Решение. Разложим
в ряд по степеням
;
тогда
.
Применяя вторую теорему разложения, получим:
.
Пример 5.2.5. Восстановить оригинал по изображению с помощью теоремы разложения.
Решение.
,
где
(
)-
все особые точки функции
.
Особые точки
находим из равенства
.
Все особые точки – простые полюсы.
Поэтому для нахождения вычета применяем
формулу:
.
Итак
.
Последнее
выражение сворачиваем, используя
известные формулы.
Ответ:
.
12.0.1. Используя различные методы, найти оригиналы следующих изображений
а)
;
б)
;
в)
;
г)
; д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
;
м)
; н)
.
Ответы
12.0.1. а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
л)
м)
н)
Приложения