4.2. Применение вычетов к вычислению интегралов
1) Интегралы вида
,
где
-символ
рациональной функции, с помощью замены
приводятся к контурным интегралам от
рациональных относительно
функций.
Пример 4.2.1.
Вычислить интеграл
с
помощью вычетов.
Решение. Выполним замену переменной .
.
Применим первую
теорему о вычетах. Подынтегральная
функция имеет две особые точки
,
- простые полюсы, однако внутри контура
располагается только
.
Поэтому
.
Отсюда
.
Пример 4.2.2.
Вычислить интеграл
с
помощью вычетов.
Решение. Выполним замену переменной .
.
Применим первую
теорему о вычетах. Подынтегральная
функция имеет две особые точки
,
-
простые полюсы, однако внутри контура
располагается только
.
Поэтому
.
Отсюда
.
2) Интегралы вида
.
Интегралы вида
,
где
,
-
многочлены степени
и
,
соответственно, причем
,
а
не имеет вещественных корней, вычисляются
по формуле
,
(4.2.1) где
-
все корни
,
расположенные в верхней полуплоскости.
Пример 4.2.3. Вычислить
.
Решение. Находим
корни многочлена
из равенства
.
Числа
,
- корни кратности два знаменателя, не
являющиеся корнями числителя. Поэтому
,
- полюсы второго порядка функции
.
Отбрасываем полюс
,
поскольку расположен в нижней
полуплоскости.
По формуле (4.2.1) вычисляем
.
Заметим, что
.
Отсюда
Пример 4.2.4.
Вычислить
.
Решение. Заметим,
что подынтегральная функция четная.
Поэтому справедливо равенство
.Используя
результат предыдущего примера, получим
.
3) Интегралы вида
,
,
Интегралы вида
,
,
где
,
,
-
многочлены степени
и
,
соответственно, причем
,
а
не имеет вещественных корней, вычисляются
по формулам:
,
(4.2.2)
,
(4.2.3)
,
где
-
все корни
,
расположенные в верхней полуплоскости.
Пример 4.2.5.
Вычислить
.
Решение. Находим
корни многочлена
из равенства
.
Числа
,
- корни кратности два знаменателя, не
являющиеся корнями числителя. Поэтому
,
- полюсы второго порядка функции
.
Отбрасываем полюс
,
поскольку расположен в нижней
полуплоскости.
По формуле (4.2.2) вычисляем
Заметим, что
.
Отсюда
.
Пример 4.2.6.
Вычислить
.
Решение. Заметим, что подынтегральная функция четная. Поэтому справедливо равенство
.
По формуле (4.2.3)
.
Используя результат предыдущего примера, получим
.
10.0.1.С помощью вычетов вычислить интегралы
а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; е)
;
ж)
; к)
; л)
;
м)
; н)
; о)
.
10.0.2.Вычислить интегралы
а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
; е)
;
ж)
; к)
; л)
;
м)
;
н)
;
о)
;
п)
; р)
.
Ответы
10.0.1. а)
; б)
; в)
;
г)
; д)
е)
ж)
к) 0 ; л) 0 ;
м)
н)
о)
.
10.0.2. а)
; б)
в)
; г)
д) 
е)
ж)
к)
л)
м)
н)
о)
п)
р)