7. Анализ случайных процессов в сау в установившихся режимах

7.1 Cуммарная ошибка системы

В большинстве случаев закон распределения ошибки системы можно считать гауссовским, поэтому для расчёта составляющих суммарной средней квадратической ошибки достаточно учесть математическое ожидание и корреляционную функцию ошибки или её спектральную плотность.

На вход системы подаётся воздействие вида:

где

- случайный сигнал; - случайная помеха.

- cуммарная ошибка системы, где - выходной сигнал системы.

Рис. 7.1. К определению суммарной ошибки

На приведённом рисунке круг означает сумматор, а сектор круга со знаком минус означает операцию вычитания.

Преобразование Лапласа для суммарной ошибки:

(7.1)

Вывод. Суммарная ошибка состоит из двух составляющих, одна из которых, определяющая точность воспроизведения сигнала, зависит от передаточной функции ошибки, вторая, обусловленная действием помехи, - от передаточной функции замкнутой системы.

Предположим, что сигнал и помеха являются стационарными случайными функциями. Тогда математическое ожидание помехи , а случайный сигнал представим в виде:

где

- математическое ожидание сигнала; - случайная составляющая сигнала.

Математическое ожидание суммарной ошибки рассчитывают по теореме о конечном значении функции:

Точность системы относительно случайных составляющих сигнала и помехи оценивается дисперсией ошибки:

где

- дисперсия ошибки; - средняя квадратическая ошибка системы, - математическое ожидание от квадрата ошибки; - автокорреляционная функция ошибки.

(7.2)

Первое слагаемое в (7.2) определяет среднюю квадратическую ошибку воспроизведения сигнала .Второе слагаемое в (7.2) характеризует ошибку вследствие действия помехи . Последние два слагаемых в (7.2) – составляющие ошибки из-за корреляции сигнала с помехой и помехи с сигналом.

Величину