2. Измерение тесноты и силы корреляционной связи с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения

Для измерения тесноты и силы связи между факторным и результативным признаками рассчитывают специальные показатели – эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение .

Эмпирический коэффициент детерминации оценивает силу связи, определяя, насколько вариация результативного признака Y объясняется вариацией фактора Х (остальная часть вариации Y объясняется вариацией прочих факторов). Показатель рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии по формуле

, (9)

где – общая дисперсия признака Y,

– межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.

Значения показателя изменяются в пределах . При отсутствии корреляционной связи между признаками Х и Y имеет место равенство =0, а при наличии функциональной связи между ними - равенство =1.

Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных). Этот показатель вычисляется по формуле

, (10)

где y_i – индивидуальные значения результативного признака;

– общая средняя значений результативного признака;

n – число единиц совокупности.

Общая средняя вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

(11)

или как средняя взвешенная по частоте групп интервального ряда:

(12)

Для вычисления удобно использовать формулу (11), т.к. в табл. 8 (графы 3 и 4 итоговой строки) имеются значения числителя и знаменателя формулы.

Расчет по формуле (11):

Для расчета общей дисперсии применяется вспомогательная таблица 12.

Таблица 12

Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии

Номер торговой точки п/п	Количество проданного товара, тыс. шт.
1	2	3	4	5
1	31	-4,733	22,4013	961
2	30	-5,733	32,8673	900
3	45	9,267	85,8773	2025
4	30	-5,733	32,8673	900
5	37	1,267	1,6053	1369
6	33	-2,733	7,4693	1089
7	44	8,267	68,3433	1936
8	29	-6,733	45,3333	841
9	40	4,267	18,2073	1600
10	48	12,267	150,4793	2304
11	38	2,267	5,1393	1444
12	34	-1,733	3,0033	1156
13	32	-3,733	13,9353	1024
14	44	8,267	68,3433	1936
15	34	-1,733	3,0033	1156
16	31	-4,733	22,4013	961
17	30	-5,733	32,8673	900
18	38	2,267	5,1393	1444
19	40	4,267	18,2073	1600
20	32	-3,733	13,9353	1024
21	38	2,267	5,1393	1444
22	35	0,733	0,5373	1225
23	35	0,733	0,5373	1225
24	34	-1,733	3,0033	1156
25	39	3,267	10,6733	1521
26	33	-2,733	7,4693	1089
27	43	7,267	52,8093	1849
28	22	-13,733	188,5953	484
29	36	0,267	0,0713	1296
30	37	1,267	1,6053	1369
Итого	1072	2,942	921,867	39228

Расчет общей дисперсии по формуле (10):

Общая дисперсия может быть также рассчитана по формуле

,

где – средняя из квадратов значений результативного признака,

– квадрат средней величины значений результативного признака.

Для демонстрационного примера

Тогда

Межгрупповая дисперсия измеряет систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка). Воздействие фактора Х на результативный признак Y проявляется в отклонении групповых средних от общей средней . Показатель вычисляется по формуле

, (13)

где –групповые средние,

– общая средняя,

–число единиц в j-ой группе,

k – число групп.

Для расчета межгрупповой дисперсии строится вспомогательная таблица 13 При этом используются групповые средние значения из табл. 8 (графа 5).

Таблица 13

Вспомогательная таблица для расчета межгрупповой дисперсии

Группы торговых точек по цене товара, руб.	Число торговых точек,	Среднее значение в группе
1	2	3	4	5
32 – 40	8	40	4,267	145,6583
40 – 48	8	35	-0,733	4,2983
48 – 56	10	34	-1,733	30,0329
56 – 64	4	33	-2,733	29,8772
Итого	30			209,8667

Расчет межгрупповой дисперсии по формуле (11):

Расчет эмпирического коэффициента детерминации по формуле (9):

^{или 22,8%}

Вывод. 22,8% вариации количества проданных товаров торговых точек обусловлено вариацией цены товара, а 77,2% – влиянием прочих неучтенных факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле

(14)

Значение показателя изменяются в пределах . Чем ближе значение к 1, тем теснее связь между признаками. Для качественной оценки тесноты связи на основе служит шкала Чэддока (табл. 14):

Таблица 14

Шкала Чэддока

	0,1 – 0,3	0,3 – 0,5	0,5 – 0,7	0,7 – 0,9	0,9 – 0,99
Характеристика силы связи	Слабая	Умеренная	Заметная	Тесная	Весьма тесная

Расчет эмпирического корреляционного отношения по формуле (14):

Вывод. Согласно шкале Чэддока связь между ценой товара и количеством проданного товара торговых точек является заметной.