
- •24.Байесовский статистический метод.
- •22.Выводимость одних знаний из других. Алгоритм вывода в системе формул f (a V b V …V c).
- •23.Доказательство теорем в логике предикатов.
- •Язык логики предикатов
- •Свободные и связанные переменные
- •Представление предложений русского языка предикатными формулами
- •Подстановка
- •3. Классификация интеллектуальных информационных систем
- •17.Логические модели знаний
- •События
- •28.Проверка статистических решений по критерию Фишера.
- •[Править]Проверка ограничений на параметры регрессии
- •30.Представление отношений формулами (предикатами), фреймами и семантическими таблицами.
Свободные и связанные переменные
Множество свободных переменных* формулы F определяется рекурсивно, следующим образом:
Определение 22 (Свободные переменные).
Все переменные, входящие в атомарную формулу, являются свободными переменными этой формулы,
свободные переменные формулы F являются свободными переменными формулы ¬F,
переменные, являющиеся свободными для хотя бы одной из формул F или G, являются свободными переменными формулы (F Д G),
все свободные переменные формулы F кроме v являются свободными переменными формулы Kv F.
Определение 23 (Замкнутая формула). Формула без свободных переменных называется замкнутой формулой, или предложением.
Определение 24 (Связаная переменная). Переменная v связана в формуле F, если F содержит вхождение Kv, где K – квантор.
3.4 Найдите свободные переменные и связанные переменные формулы
$ y P(x, y) & ¬$ x P (x, x)
Представление предложений русского языка предикатными формулами
Перед тем как мы продолжим изучение синтаксиса логики предикатов, полезно потренироваться в переводе предложений с русского языка в язык предикатных формул. *
В этих упражнениях для перевода рассматривается сигнатура (4). Мы предполагаем, что объектные переменные служат для обозначения натуральных чисел и интерпретируем сигнатуру следующим образом:
a представляет число 10,
P(x) выражает условие ``x является простым числом'',
Q(x, y) выражает условие ``x меньше чем y''.
В каждой из следующих задач представьте данное предложение русского языка предикатной формулой.
3.5 Все простые числа больше чем x.
Ответ: " y(P (y) Й Q(x, y)).
3.6 Существует простое число, которое меньше чем 10.
3.7 x равно 2. см. Указания
3.8 x равно 11. см. Указания
3.9 Существует бесконечно много простых чисел.
Подстановка
Определение 25 (Подстановка терма). Пусть F – формула и v – переменная. Результат подстановки терма t вместо v в F – формула, определённая рекурсивно следующим образом:
результат подстановки t вместо v в атомарную формулу F получается из F одновременной заменой всех вхождений v на t,
если результат подстановки t вместо v в F есть F' тогда результат подстановки t вместо v в ¬F есть ¬F',
если результат подстановки t вместо v в F и G есть F' и G' тогда результат подстановки t вместо v в (F Д G) есть (F'Д G'),
если результат подстановки t вместо v в F есть F' и w – переменная, отличающаяся от v, тогда результат подстановки t вместо v в Kw F есть Kw F',
результат подстановки t вместо v в Kv F есть Kv F.
3.10 Найдите результат подстановки константы a вместо x в формулу из задачи 3.4.
Когда мы намереваемся рассмотреть подстановки вместо переменной v в некоторую формулу, удобно обозначать эту формулу выражением F(v), и обозначать результат подстановки терма t вместо v в этой формуле через F(t) .
3.11 Если v не является свободной переменной F(v), тогда F(t) равно F(v).
Пусть F(x) обозначает формулу
" y (P(y) Й Q(x, y)),
предложенную выше как перевод условия ``все простые числа больше чем x'' (задача 3.5). Формула вида F(t), где t – терм, обыкновенно выражает то же условие применённое к значению t. Например, F(a) есть " y (P(y) Й Q(a, y)), что значит ``все простые числа больше чем 10'', F(z2) есть " y (P(y) Й Q(z2, y)), что значит ``все простые числа больше чем z2''. Существует, однако, одно исключение. Формула F(y), то есть, " y (P(y) Й Q(y, y)), выражает (неправильное) утверждение ``каждое простое число меньше чем оно само''. Проблема с этой подстановкой в том, что, когда мы подставляем переменную y вместо x в F(x), y ``захватывается'' квантором. Чтобы выразить утверждение ``все простые числа больше чем y'' предикатной формулой, мы будем использовать связанную переменную отличную от y и писать, например,
" z(P (z) Й Q(y, z))
Чтобы различать ``плохие'' подстановки, как в последнем примере, от ``хороших'', мы определим, когда терм t является подстановочным для переменной v в формуле F.*
Если F – атомарная, тогда t является подстановочным для переменной v в F,
t является подстановочным для переменной v в ¬F тогда и только тогда, когда t является подстановочным для v в F,
t является подстановочным для v в (F Д G) тогда и только тогда, когда t является подстановочным для v и в F и в G,
t является подстановочным для v в Kw F тогда и только тогда, когда
t не содержит w и является подстановочным для v в F, или
v не является свободной переменной формулы Kw F.
3.12 Терм, не содержащий ни одной связанной переменной формулы F, является подстановочным в F для любой переменной.
Определение 26 (Универсальное замыкание). Универсальное замыкание формулы F – это предложение
" v1 ··· vn F,
где v1, ... , vn – все свободные переменные F.