Тесты для самоконтроля Составьте краткие ответы на следующие вопросы

1. Предмет математической статистики – уровень 1.

2. Две основные задачи математической статистики – уровень 1.

3. Вариационный ряд дискретной и непрерывной случайной величины – уровень 1.

4. Статистическое распределение и его виды – уровень 1.

5. Теоретическая и эмпирическая функции распределения – уровень 1.

6. Кривая распределения и гистограмма – уровень 1.

7. Плотность распределения вероятностей – уровень 1.

8. Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин – уровень 1.

9. Законы распределения непрерывных случайных величин – уровень 1.

10. Свойства нормального распределения – уровень 3.

11. Асимметрия и эксцесс нормального распределения – уровень 2.

12. Два способа оценки параметров распределения – уровень 2.

13. Требования к статистической оценке параметра распределения – уровень 2.

14. Точеные оценки числовых характеристик генеральной совокупности – уровень 2.

15. Интервальные оценки параметров распределения – уровень 2.

16. Что такое доверительная вероятность? – уровень 2.

17. Что такое доверительный интервал? – уровень 2.

18. Доверительные интервалы для неизвестного математического ожидания нормально распределенной случайной величины – уровень 3.

19. Что собой представляет задача статистической проверки гипотез? – уровень 2.

20. Основная и конкурирующая гипотезы – уровень 1.

21. Ошибки первого и второго рода при проверке статистических гипотез – уровень 2.

22. Что такое статистический критерий? – уровень 1.

23. Критическая область и критические точки – уровень 2.

24. Уровень значимости и критические точки – уровень 2.

25. Общая схема проверки гипотез – уровень 3.

26. Статистический критерий и проверка статистических данных на «выбросы»– уровень 3.

Характеристика тестов

• Всего вопросов – 26;

• Количество вопросов уровня 1 – 11; уровня 2 – 11; уровня 3 – 4.

• Количество баллов за вопрос

  • уровня 1 – 1;

  • уровня 2 – 2;

  • уровня 3 – 3.

Количество баллов за раздел 1 – 45.

II. Корреляционный и регрессионный анализ

§2.1. Система случайных величин

Случайные величины, возможные значения которых определяются двумя и более числами, называются двумерными, трехмерными ,…, n - мерными. Двумерная случайная величина обозначается ( X, Y ), а величины X и Y называют составляющими ( компонентами). Обе величины X и Y , рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин. И , по аналогии, n – мерную величину можно рассматривать как систему n случайных величин. Различают дискретные и непрерывные многомерные случайные величины.

Законом распределения дискретной двумерной случайной величины называется перечень возможных значений этой величины, т.е. пар чисел (x_i,y_j) , и их вероятностей p(x_i,y_j) ( I = 1,2,…, n; j = 1,2,…,m ) . Обычно закон распределения задают в виде таблицы с двумя входами, в которой по строкам располагают значения Y, а по столбцам значения X, а в клетке , соответствующей (x_i,y_j), указывается вероятность p(x_i,y_j) . Очевидно, что

P(x_i) = ; P(y_j) = ; =1

Функцией распределения двумерной случайной величины ( X,Y ) называют функцию F(x,y), определяющую вероятность того, что X примет значение, меньшее x, и при этом Y примет значение, меньшее y:

F (x, y) = P ( X < x, Y < y)

Функция распределения есть неубывающая функция по обоим аргументам, значения которой меняются в пределах от 0 до 1.

Плотностью совместного распределения вероятностей f ( x, y ) двумерной непрерывной случайной величины ( X , Y) называют вторую смешанную частную производную от функции распределения

Плотность распределения одной из составляющих двумерной случайной величины находится по формуле:

f₁( x ) = ; f₂( y ) =

Для характеристики зависимости между составляющими двумерной дискретной случайной величины вводится понятие условного распределения. Если, допустим, в результате испытания величина Y приняла значение Y = y_j , при этом X примет одно из своих возможных значений x₁, x₂, … , x_n . Условная вероятность того, что X примет значение x_i при условии, что Y приняло значение y_j , обозначается так: p ( x_i | y_j ). Условным распределением составляющей X при Y = y_j называют совокупность условных вероятностей p( x_i | y_j )(i = 1,2,…,n), вычисленных в предположении, что событие

Y = y_j уже наступило. Аналогично определяется условное распределение составляющей Y . Зная закон распределения двумерной случайной величины, можно найти условные законы распределения составляющих:

p ( x_i | y_j ) = p( x_i ,y_j ) / p ( y_j ) ; p ( y_j | x_i ) = p( x_i, y_j ) / p ( x_i )

Сумма вероятностей условного распределения равна 1: .

Условной плотностью φ ( x | y ) распределения составляющих X при данном значении Y = y называют отношение плотности совместного распределения f ( x, y ) системы ( X, Y ) к плотности распределения f₂ ( y ) составляющей Y : f( x | y ) = f( x, y ) / f₂ ( y )

и аналогично определяется условная плотность распределения составляющей Y при данном значении X = x :

f( y | x ) = f( x, y ) / f₁ ( x )

Отличие условной плотности f( x | y ) от безусловной плотности f₁(x) состоит в том, что функция f( x | y ) дает распределение X при условии, что составляющая Y приняла значение Y = y ; функция f₁(x) дает распределение X независимо от того, какие из возможных значений приняла составляющая Y. Аналогичные рассуждения справедливы и для условной и безусловной плотности f( y | x ) и f₂ ( y ).

Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины Y при X = x , где x – определенное возможное значение X , называют сумму произведений возможных значений Y на их условные вероятности: M ( Y | X = x) =

Для непрерывной случайной величины

M ( Y | X = x) = ,

где f( y | x ) – условная плотность случайной величины Y при X = x. Аналогично определяется условное математическое ожидание X при Y=y.

Условное математическое ожидание M(Y | x ) является функцией от x: M ( Y | x ) = f ( x ), которую называют функцией регрессии Y на X. Аналогично определяется условное математическое ожидание случайной величины X и функция регрессии X на Y: M ( X | y ) = φ ( y ).

Для описания системы двух случайных величин, кроме числовых характеристик составляющих, используют корреляционный момент и коэффициент корреляции.