§ 2.5. Основы дисперсионного анализа

Для проверки нулевой гипотезы H₀ : β₁ = 0 , т.е. между Y и X нет связи или связь нелинейная. используют основное положение дисперсионного анализа о разбиении суммы квадратов отклонений результативного признака S на сумму S₁, характеризующую влияние признака X, и остаточную сумму квадратов S₂, характеризующую влияние неучтенных факторов:

S = S₁ + S₂ .

Дисперсионный анализ – это метод анализа результатов наблюдений, зависящих от различных, одновременно действующих факторов, выбор наиболее существенных факторов и оценка их влияния. Для этого используется разложение общей вариации случайной величины на независимые составляющие, характеризующие влияние того или иного фактора или их взаимодействие. Основная идея дисперсионного анализа состоит в сравнении «факторной дисперсии», порождаемой воздействием фактора, и «остаточной дисперсии», обусловленной случайными причинами. В зависимости от количества факторов, включенных в анализ, различают однофакторный и многофакторный анализ. Для проведения дисперсионного анализа необходимо соблюдение следующих требований: результаты наблюдений должны быть независимыми случайными величинами, имеющими нормальное распределение и одинаковую дисперсию, что дает возможность оценить значимость полученных оценок дисперсий и математических ожиданий и построить доверительные интервалы.

Пусть на количественный нормально распределенный признак Y воздействует фактор X , который имеет p постоянных уровней, а число наблюдений на каждом уровне одинаково и равно n. Если p = 1, общая сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от общей средней

S_общ = ;

факторная сумма квадратов отклонений выровненных значений, вычисленных по функции регрессии f^*(x_i), от общей средней

S_факт = ;

остаточная сумма квадратов отклонений выравненных значений f^*(x_i) от наблюдаемых значений

S_{ост =}

Общая дисперсия s² = S_общ /(n-1)

отражает влияние и фактора и случайных причин. Факторная дисперсия, или

дисперсия регрессии,

s²_факт = S_факт / (n-1)

характеризует воздействие фактора X . Остаточная дисперсия

s²_ост = S_ост / (n-1)

отражает влияние случайных причин или других неучтенных факторов.

§ 2.6. Нелинейная корреляционная связь

Тесноту связи между X и Y удобно оценивать в единицах общей дисперсии σ_y, т.е. рассматривать отношение остаточной дисперсии к дисперсии признака относительно его математического ожидания :

{M[ _x – M(Y) ]²} / σ_y²

Эту величину называют теоретическим корреляционным отношением η²_Y|x.

Для оценки тесноты линейной корреляционной связи между признаками в выборке служит выборочный коэффициент корреляции. Для оценки тесноты нелинейной корреляционной связи вводят новые сводные характеристики: η_yx и η_xy – выборочные корреляционные отношения Y к X и X к Y.

Выборочным корреляционным отношением Y к X называют отношение :

R_yx = s _x / s_y ,

где s _x = ; s_y = ;

n_x – частота значения x признака X; n_y – частота значения y признака Y;

– общая средняя признака Y ; _x – условная средняя признака Y.

Аналогично определяется выборочное корреляционное отношение X к Y: R_xy = s _y / s_x

Однако чаще пользуются коэффициентом детерминации

R² = s²_факт / s²_общ ,

который является отношением объясненной с помощью функции регрессии части дисперсии к общей дисперсии. Коэффициент детерминации определяет долю рассеивания величины Y , обусловленную функциональной зависимостью ее от величины X. Величина

1 – R² = s²_ост / s²_общ

Показывает, какую долю рассеивания случайной величины Y обуславливают случайные факторы.

Свойства коэффициента детерминации:

• 0 ≤ R² ≤ 1 ;

• если R² = 0 (η = 0), признак Y с признаком X корреляционной зависимостью не связан;

• если R2 =1 (η =- 1), признак Y связан с признаком X функциональной зависимостью;

• R ≥ │r_в │ и выборочное корреляционное отношение не меньше абсолютной величины выборочного коэффициента корреляции : η ≥ │r_в │;

• если R =│r_в │, то имеет место точная линейная корреляционная зависимость, т.е. точки (x_i,y_i) лежат на прямой линии регрессии, найденной МНК.

С возрастанием R² корреляционная связь становится более тесной, так

как уменьшается (1 – R² ), т.е. уменьшается дисперсия, вызванная воздействием неучтенных факторов.

Преимущество корреляционного отношения перед коэффициентом

корреляции состоит в том, что оно служит мерой тесноты связи любой, в том числе и линейной, формы. Однако, оно не позволяет судить, насколько близко расположены точки наблюдений к кривой определенного вида (параболе, гиперболе и т.д.).

Если график регрессии изображается кривой линией, то корреляцию называют криволинейной. В общем случае нелинейная модель регрессионного анализа имеет вид:

y = g(x₁,x₂,…,x_k) + ε(x₁,x₂,…,x_k),

где g(x₁,x₂,…,x_k) – нелинейная функция регрессии Y на (x₁,x₂,…,x_k); ε(x₁,x₂,…,x_k) – отклонение, погрешность замены истинной зависимости функцией регрессии. В случае двумерной случайной величины функция регрессии

g(x) = β₀ + β₁x + β₂x².

Параметры β₀, β₁ и β₂ определяются как значения, при которых остаточная

дисперсия регрессии Y на X S_{ост =} становится минимальной.

Оценку значимости приближения функций регрессии выполняют с помощью критерия Фишера :

F_расч = ,

где k – количество факторных признаков ( k = 1 для двумерной модели) .

Если F_расч > F_кр , гипотеза H₀ : уравнение регрессии не значимо отвергается и уравнение считается не противоречащим статистическим данным. В противном случае, когда F_расч < F_кр , гипотеза принимается. Значение F_кр(m₁,m₂,α ) находится по таблице в зависимости от количества факторных признаков k

( m₁ = k ), объема выборки n (m₂ = n ) и уровня значимости α (0,05).