1.8 Произвольная пространственная система сил

1.8.1 Уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил

Совокупность сил, действующих на тело, называют системой сил. Если силы, действующие на тело, лежат в разных плоскостях, то такую систему сил называют пространственной.

Решение задач статики в основном сводится к составлению уравнений равновесия системы сил и их дальнейшему решению. Условия равновесия любой системы сил определены равенствами R=0 и М_о=0, где R - главный вектор, а М_о – главный момент. Векторы R и М_о будут равны нулю только тогда, когда их проекции на оси координат тоже будут равны нулю, то есть R_x=R_y=R_z=0 и M_x=M_y=M_z=0. Этому условию соответствуют шесть основных уравнений равновесия сил, расположенных произвольно в пространстве:

∑F_kx=0, ∑F_ky=0, ∑F_kz=0;

∑M_x(F_k)=0, ∑M_y(F_k)=0, ∑M_z(F_k)=0.

Первые три уравнения называются уравнениями проекций сил на оси, а последующие три уравнения – это уравнения моментов сил относительно координатных осей.

Таким образом, для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций сил на каждую из трех координатных осей и суммы их моментов относительно этих осей были равны нулю.

1.8.2 Проекция силы на плоскость

При решении задач на произвольную пространственную систему сил иногда не удается сразу спроецировать силу на координатные оси. В таком случае требуется найти проекцию силы на плоскость (рис. 1.15), а уже затем проекции силы на оси.

Проекцией силы на плоскость Оху называется вектор ,   F_xy = OB₁,  заключенный между проекциями начала и конца силы F на эту плоскость.

 

Рисунок 1.15 – Нахождение проекции силы F на плоскость

        

По модулю F_ху = Fcos, где   угол между направлением силы F и ее проекцией F_xy.

         Проекции силы F на оси координат в данном случае равны: 

  F_х = ОВ₂ = F_ху cos  = F cos cos,

F_у = ОВ₃ = F_ху sin  = F cos sin ,

F_z = F sin .

1.8.3 Момент силы относительно оси

Момент силы относительно оси равен моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную к данной оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью.

Момент силы F относительно оси считают положительным, если с положительного конца оси поворот, совершаемый составляющей F_xy этой силы F, виден происходящим против хода часовой стрелки, и отрицательным, если по ходу часовой стрелки.

Рисунок 1.16 – Нахождение момента силы относительно оси

Для того, чтобы найти момент какой-либо силы F относительно какой-нибудь оси z, нужно:

1. провести плоскость xy, перпендикулярную оси z;

2. спроектировать силу F на эту плоскость и вычислить модуль F_xy ее составляющей F_xy;

3. опустить из точке О пересечения оси z с плоскостью xy перпендикуляр на линию действия составляющей F_xy и найти его длину h, то есть плечо силы F_xy относительно точки О;

4. вычислить произведение F_xyh;

5. определить знак момента силы F_xy относительно точки О.

В данном случае момент силы будет равен: .

Из определения момента силы относительно данной оси z следует:

1. Момент силы F относительно данной оси z не изменяется при переносе точки приложения этой силы вдоль линии ее действия, так как при этом не изменяется ни проекция F_xy силы F на плоскость xy, ни ее плечо h.

2. Если сила F перпендикулярна к оси z, то модуль ее момента относительно этой оси равен произведению модуля силы на кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью.

Момент силы F относительно оси z равен нулю в тех случаях, когда линия действия этой силы и ось z лежат в одной плоскости. При этом возможны следующие частные случаи:

а) сила F параллельна оси z (в этом случае F_xy=0);

б) линия действия силы F пересекает ось z (в этом случае h=0).