2.4 Пример выполнения расчетно-графической работы

Расчетно-графическая работа по разделу «Кинематика», разработанная для студентов-очников, в программу курса которых входит дисциплина «теоретическая механика», включает в себя расчет кинематических характеристик тел и точек неизменяемой механической системы, состоящей из прямолинейных стержней и диска. Все тела системы лежат в одной плоскости. Соединения тел – шарнирные. Система составлена таким образом, чтобы при ее движении тела совершали поступательное, вращательное и плоскопараллельное движения. Диск катится без проскальзывания и не отрывается от указанной поверхности. Направляющие ползуна Е параллельны данной поверхности.

Данные, необходимые для построения механизма и выполнения расчетов приведены в таблице 2.1. Номер варианта выбирается по предпоследней цифре шифра зачетной книжки, номер рисунка – по последней цифре шифра.

Построение механизма необходимо выполнить в масштабе; начинать со стержня 1, направление которого определяется углом  с вертикалью или горизонталью.

Во всех вариантах искомыми величинами являются V_B, V_C, V_E, V_D; ω₁, ω₃, ω_2, ω₄, ω₅; a_А, a_B, a_C, a_E, a_D; ε₁, ε₃, ε₂, ε₄, ε₅ (за исключением величин, заданных в таблице 2.1).

Пример выполнения задания. Для изображенного механизма в положении, определяемом заданными углами, определить скорости и ускорения тел и точек системы. Провести проверку найденных скоростей точек с использованием теоремы о равенстве проекций скоростей двух точек тела на прямую, их соединяющую. Найденные ускорения точек проверить графическим способом, построив в масштабе векторные уравнения, определяющие искомые ускорения.

Рисунок 2.15 – Общий вид механизма

Дано:O₁A=l₁ =30см; AC=50см; AB=l₃ =70см; BO₂=l₂ = 20см; CE=l₄ =70см;

r =20см; ω₁=2 р/с; ε₁=1.5р/с²;

 =0;  = 70^О;  = 80^О;  = 50^О;  = 60^О.

Найти: V_B, V_C, V_E, V_D; ω₃; ω_2, ω₄, ω₅; a_B, a_C, a_E, a_D; ε₃, ε₂, ε₄, ε₅.

Рисунок 2.16 – Схема механизма с учетом заданных углов

Решение:

Найдем скорости vb, vc, ve, vd; ω3 ,ω2, ω4, ω5.

1. На миллиметровой бумаге формата А3 построим механизм с учетом заданных углов. Зададим движение системы, указав угловую скорость стержня 1. Рассмотрим движение плоского механизма. Определим виды движения тел системы и покажем на схеме скорости точек. Стержень O₁A совершает вращательное движение с угловой скоростью и угловым ускорением , значения которых известны.

Стержень О₂В совершает вращательное движение.

Стержни ВА и СЕ совершают плоскопараллельное движение.

Ползун Е совершает прямолинейное движение вдоль горизонтальных направляющих.

Диск катится по неподвижной горизонтальной поверхности, т.е. совершает плоскопараллельное движение.

Построим механизм в масштабе в соответствии с заданными углами.

На схеме можем показать скорость точки А, . Так как тело движется вращательно, то =  ,  , и направлена в соответствии с направлением .

Скорость точки В как точки тела О₂В, совершающего вращательное движение, направлена перпендикулярно к стержню О₂В. Так как стержень АВ не деформируется при движении механизма, то стержень О₂В поворачивается вокруг О₂ против часовой стрелки с угловой скоростью , и .

Ползун Е, совершающий прямолинейное движение, в данном положении механизма имеет скорость , направленную вправо (т.к. стержень СЕ также не деформируется при движении системы).

Чтобы показать скорости и надо построить мгновенные центры скоростей тел, которым принадлежат эти точки. Так как для тела АВ известны по направлению скорости двух его точек и , то мгновенный центр скоростей найдём на пересечении перпендикуляров, проведённых к векторам скоростей и через точки А и В. Покажем направление угловой скорости тела АВ вокруг точки Р_АВ. ₃ направлена против часовой стрелки (т.к. её направление согласовано с направлением и ). Проведём из точки Р_АВ отрезок Р_АВС. Тогда  Р_АВС, направлена в соответствии с направлением ₃.

Мгновенный центр скоростей диска находится в точке касания диска с неподвижной поверхностью – в точке Р_ЕD. Покажем направление ₅ вокруг Р_ЕD по часовой стрелке (так как направлена вправо) .

Проведём отрезок Р_ЕDD и покажем  Р_EDD, в соответствии с направлением ₅.

Рисунок 2.17 – Схема скоростей тел и точек механизма

2. Найдём численные значения скоростей точек.

2.1 Найдем . Точка А принадлежит телу О₁А, совершающему вращательное движение. V_A=ω_O1AO₁A=230=60(см/с).

Но точка А принадлежит также и телу АВ, совершающему плоское движение. Тогда согласно формуле (8) для точек А, В, С справедливо

.

v_B= ω_ABBP_AB, но ω_АВ неизвестна.

Рассмотрим точку В как точку тела АВ, совершающие плоское движение. Тогда .

Найдём расстояние АР_АВ из получившегося при построении треугольника ВАР_АВ, применяя теорему синусов.

=

АР_АВ=70· = 156,783(см).