Представление кривых линий

Параметризация кривых. При геометрическом моделировании фигуры идентичные кривым в пространстве, являются конечными отрезками этих кривых. Рассматриваемое множество точек кривой является отрывом непрерывного кусочка - обратимого отображения замкнутого отрезка числовой прямой. Отображаемый отрезок называется областью изменений параметра, а само изменение - параметризацией. Одна и та же кривая может быть параметризована бесчисленным множеством способов. Параметризация осуществляется заданием декартовых координат текущей точки кривой как функции некоторого параметра:

x=x(t), y=y(t), z=z(t), n<t<b.

Конкретный вид этих функций отличает данную параметризацию от всех точек.

Например , - явные задания кривой. Положив x=t, получим один из возможных видов параметризации. Если разрешить уравнение относительно y и положить y=t ,

 , то это будет другая (неоднозначная) параметризация.

Будем пользоваться параметрическими уравнениями 3Д-кривой в векторной форме r­­(t)=x(t)e₁+ y(t)e₂ + z(t)e₁ где

x

r(t)= y - радиус-вектор текущей точки на кривой,

z

e₁, e₂, e_{1 -} орты координатных осей.

Кривая называется m раз непрерывно дифференцируемой, если она допускает m раз непрерывно дифференцируемую параметризацию. Непрерывно дифференцируемые кривые (m=1), допускающие параметризацию, первая производная которой по модулю всегда отлична от нуля , (r  0) называются гладкими. Если при r(t)= 0, то точка может быть особой.

Далее мы будем рассматривать гладкие кривые, обладающие кусочно-непрерывной ограниченной кривизной, т.е. допускающими такую параметризацию, r = r(t) , что вторая производная кусочно-непрерывна и ограничена.

Дискретно-точечным заданием кривой будем называть конечную совокупность точек кривой, упорядоченных по ее длине. В некоторых случаях могут быть заданы дополнительные сведения о свойствах кривой в окрестности соответствующей точки. Кроме заданных точек и дополнительных условий требуется наличие некоторого алгоритма интерполирования. Обычно используется интерполяция в трехмерном пространстве.

Рассмотрим представление кривых с помощью кубических параметризованных кривых

или в матричном виде

x(t)

y(t) = 0< t <1

z(t) t

1

или r(t) = G T,

где

T = ,

t

1

G = =

где = [], = [],

= []- векторы столбцы.

В зависимости от вида матрицы G получают различные формы описания параметризованных кривых.

Обсудим вопрос, почему рассматриваются именно кубические кривые. Дело в том, что не существует кривых более низкого порядка, которые обеспечивали бы в точке соединения кривых друг с другом непрерывность положения наклоны сегментов и в то же время гарантировало бы, что концевые точки сегмента кривой проходит через заданные точки.

Говорят, что кривая принадлежит к классу , если все производные функции порядков от 0(сама кривая) до n. Кубические кривые принадлежат к классу . Кривые более высокого порядка сложнее, кроме того, в ряде случаев дают неопределенную волнистость.

Рассмотрим три способа описания параметрических кривых, наиболее распространенные в практике геометрического моделирования.

Форма Эрмита. Кривая задана координатами начальной и конечной точки, а также величиной производных в этих точках. Точки обозначим:

= , = ,

а векторы

= , = .

Через эту кривую нужно провести параметризованную кривую третьего порядка с заданными на концах производными. При этом в параметр t= 0, в параметр t=1.

t=1

t= 0

Рассмотрим сперва координату x :

x(0)= , x(1)= , x(0)= , x(1)= .

Запишем первую строку из матричного соотношения (*)

x(t)= X = ;

3t²

x(t)= T^TA_x = 2t  A_x ;

1

0

При t= 0 x(0)= x₁= [0 0 0 1]  A_x ; x(0) = q_x1 = [0 0 1 0]  A_x ;

При t= 1 x(1)= x₂= [ 1 1 1 1]  A_x ; x(1) = q_x2 = [3 2 1 0]  A_x ;

сведем написанные четыре уравнения в систему :

x(0) 0 0 0 1 x₁

x(1) = 1 1 1 1  A_x = x₂

x(0) 0 0 1 0 q_x1

x(1) 3 2 1 0 q_x2

M_h^-1 A_x

Обращая матрицу M_h^-1, получим искомый вектор A_x

x₁

A_x = M_h  x₂ = M_h  G_hx .

q_x1

q_x2

Проводя вычисления, получим

2 -2 1 1

M_h = -3 3 -2 -1

0 0 1 0

1 0 0 0

M_h называется эрмитовой матрицей; G_hx называется геометрическим вектором Эрмита. Аналогично можно вычислить A_y , A_z : A_y = M_h  G_hy ; A_z = M_h  G_hz . Вернемся к координатам

x(t)= T^T  A_x = T^T  M_h  G_hx ;

y(t)= T^T  A_y = T^T  M_h  G_hy ;

z(t)= T^T  A_z = T^T  M_h  G_hz ;

или r^T(t) = T^T  M_h  G_h , где G_h - геометрическая матрица Эрмита.

x₁ y₁ z₁ r₁^T

G_h = [ G_hx G_hy G_hz ] = x₂ y₂ z₂ = r₂^T

x₁ y₁ z₁ q₁^T

x₂ y₂ z₂ q₂^T

Рассмотрим произведение T^T  M_h = _h(t)

2 -2 1 1

_h(t) = T  Mh = [ t³ t² t 1 ]  -3 3 -2 -1 =

0 0 1 0

1 0 0 0

= [ 2t³ - 3t² + 1; -2t³ + 3t²; t³ - 2t² + t; t³ - t² ].

Тогда окончательно r^T(t) = _h(t)  G_h .

Четыре функции переменной t, входящие в вектор Ф_h называется функциями сопровождения. Первые две из них сопрягают точки r₁ и r₂ , а посредством двух других сопрягаются векторы производных r₁ и r₂. В результате получается сопряженное объединение r(t) .

В качестве примера рассмотрим семейство кривых Эрмита, проходящие через две точки P₁ и P₂ , у которых r имеет различную величину, а arg  r одинаков.

64

Q₁ 32

16

8

P₁ P₂

 r Q₂

Отметим, что длина касательной - это явление, возникающее из-за параметрической формы представления.

Форма Безье (Busier) - эта форма кубической кривой близка к эрмитовой форме, однако отличается от нее заданием касательных векторов в конечных точках. В форме Безье используется четыре точки.

Q₁Г₃

P ₁

Г₁ Г₂

P₂

Г₄ Q₄

Касательные вектора в конечных точках задаются отрезками P₁Q₁ и P₂Q₂ . В частности, касательные вектора r₁ и r₂ эрмитовой формы определяются так, чтобы соответствовать четырём точкам Безье: P₁Q₁ и P₂Q₂ .

r₁ = 3( r_Q1 - r_P1) = r(0) = 3(Г₃ - Г₁) ;

r₂ = 3( r_Q2 - r_P2) = r(1) = 3(Г₂ - Г₄) .

Следовательно, матрица перехода от эрмитовой формы к форме Безье имеет вид

r₁ 1 0 0 0 Г₁

G_h = r₂ = 0 1 0 0  Г₂ = M_hb  G_b ,

r₁ -3 0 3 0 Г₃

r₂ 0 3 0 -3 Г₄

где M_hb - переходная матрица.

Отсюда r(t) = T^T  M_h  G_h = T^T  M_h  M_hb  G_b = T^T  M_b  G_b ,

где M_b - матрица Безье .

2 -2 1 1 1 0 0 0 -1 1 3 -3

M_b = -3 3 -2 -1  0 1 0 0 = 3 0 -6 3

0 0 1 0 -3 0 3 0 -3 0 3 0

1 0 0 0 0 3 0 -3 1 0 0 0

Вычислив произведение _b = T^T  M_b

_b = [ t³ t² t 1]  M_b = [ -t³ + 3t² - 3t + 1; t³ ; 3t³ -6t² + 3t; -3t³ + 3t² ] =

= [ (1-t)³ ; t³ ; 3t(t-1)² ; 3t²(t-1)] .

r(t) = _b  G_b = r₁(1-t)³ + r₂t³ + r₃3t(t-1)² + r₄3t²(t-1).

Обратим внимание, что каждый из коэффициентов при векторах изменяется в диапазоне 0...1, а сумма коэффициентов вида равна 1. Это выражение оценивает взвешенное среднее для четырех управляющих точек.

При t = 0 r(0) = Г₁

t = 1 r(1) = Г₂

При стыковке нескольких отрезков должно выполняться условие

Q₂P₂ = kP₂Q₃ , т.е. производные должны соблюдать по направлению. Форма Безье используется в машинной графике чаще, чем эрмитова форма:

1) геометрически матрицу удобнее задавать в диалоговом режиме, удобнее задавать четырьмя точками, чем указывать производную в явном виде, как это требуется при использовании эрмитовых форм.

2) четыре управляющих точки определяют выпуклый четырехугольник , натянутый на эти точки и содержащий внутри себя кривую. Эта оболочка оказывается полезной при отсечении кривой по окну и видимому объему.