Практическая работа № 1 «Упрощение логических функций»

Раздел 1. Сведения по информатике и вычислительной технике.

Тема 1.2 Информационно-логические основы эвм.

Цели работы:

• изучить основные логические операции;

• научиться применять основные законы логики для упрощения логических функций;

• научиться составлять таблицы истинности логических функций;

• закрепить теоретические знания и практические умения по данной теме.

1. Сведения из теории:

Булева алгебра — это название области математики, занимающейся логическим анализом. Простейшая булева алгебра состоит из множества В = {0, 1} вместе с определенными на нем логическими операциями.

Основным понятием булевой алгебры является высказывание.

Высказывание - связное повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.

Поставим в соответствие высказыванию логическую переменную х, которая принимает значение 1, если высказывание истинно, и 0, если высказывание ложно.

• Пример 1. "2 * 2 = 4" (Дважды два равно четырем)

• Пример 2. "2 < 3"

В приведённых примерах высказывание 1 − "истинно", 2 − "ложно".

Различными способами из отдельных высказываний можно построить новое высказывание.

Это новое высказывание называется составным, в то время как высказывания, из которых оно образовано, называются его простыми составляющими или компонентами.

Значение истинности составного высказывания определяется значениями истинности его компонент.

Высказывания будем обозначать прописными буквами латинского алфавита X, Y, Z ....

Составные высказывания будем получать из простых с помощью логических операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность, которые осуществляются при помощи логических связок:  ; &; ; ; ↔.

Название	Прочтение	Обозначение
Отрицание	не	, ¯
Конъюнкция	и	&, ^
Дизъюнкция	или	
Импликация	если …. то	
Эквивалентность	тогда и только тогда, когда	↔

Пусть даны два произвольных высказывания X и Y.

Отрицанием высказывания X называется высказывание X, которое истинно, когда X ложно, и ложно, когда X истинно. Таблица истинности для отрицания.

X	X
0	1
1	0

Конъюнкцией двух высказываний X и Y называется высказывание X&Y, которое истинно только в том случае, когда X и Y оба истинны. Таблица истинности для конъюнкций.

X	Y	X&Y
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Дизъюнкцией двух высказываний X и Y называется высказывание XVY, которое истинно, когда хотя бы одно из них истинно. Таблица истинности дизъюнкций.

X	Y	XVY
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Импликацией двух высказываний X и Y называется высказывание XY, которое ложно тогда и только тогда, когда X истинно, а Y ложно. Таблица истинности для импликации.

X	Y	X Y
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Эквивалентностью высказываний X и Y называется высказывание X↔Y, которое истинно тогда и только тогда, когда X и Y оба истинны или ложны.

Таблица истинности для эквивалентности.

X	Y	X↔Y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Для образования составных высказываний наряду с единичным использованием каждой основной связки можно пользоваться основными связками многократно, получая более сложные составные высказывания — аналогично тому, как с помощью основных арифметических oпeраций образуются сложные алгебраические выражения.

Например, составными будут высказывания: (X^Y); Х^Х; (XY) Х.

Новые высказывания могут быть образованы при помощи нескольких логических операций и составлять формулы, некоторые из которые рассматриваются как логические операции, осуществляемые при помощи других логических связок: |; ↓; .

Название	Прочтение	Обозначение
Штрих Шеффера	Антиконъюнкция	|
Стрелка Пирса	Антидизъюнкция	↓
Сумма по модулю два	Антиэквивалентность	

Штрих Шеффера Y или антиконъюнкция, по определению X|Y=X&Y. Таблица истинности штриха Шеффера.

X	Y	X|Y
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Стрелка Пирса, или антидизъюнкция, по определению X↓Y= XY.

Таблица истинности Стрелки Пирса.

X	Y	X↓Y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

Сумма по модулю два, или антиэквивалентность, по определению XY= Y↔Y.

Таблица истинности суммы по модулю два.

X	Y	XY
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Два высказывания А и В будем называть равносильными (и писать АВ или А=В), если их значения истинности равны.

Замечание.

Формулы насыщены скобками и трудночитаемы, поэтому мы примем соглашение об упрощении записи формул:

А) Наружные скобки в записи формул можно опускать;

Б) Условимся, что конъюнкция "сильнее" дизъюнкции, а обе они "сильнее" и ↔, поэтому часть скобок, определяющих порядок действий, можно опускать.

Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы

Конъюнктивным одночленом от переменных х₁, х₂, …,х_n называется конъюнкция этих переменных или их отрицаний.

Дизъюнктивным одночленом от переменных х₁, х₂,..., х_n называется дизъюнкция этих переменных или их отрицаний.

Формула, равносильная данной формуле алгебры высказываний и являющаяся дизъюнкцией элементарных конъюнктивных одночленов, называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) данной формулы.

Например: ДНФ

Формула, равносильная данной формуле алгебры высказываний и являющаяся конъюнкцией элементарных дизъюнктивных одночленов, называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ) данной формулы.

Например: КНФ

Для каждой формулы алгебры высказываний можно найти множество дизъюнктивных и конъюнктивных нормальных форм.

Совершенная дизъюнктивная и совершенная конъюнктивная нормальные формы

Любая булева функция может иметь много представлений в виде ДНФ и КНФ. Особое место среди этих представлений занимают совершенные ДНФ (СДНФ) и совершенные КНФ (СКНФ).

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) — это ДНФ, в которой в каждый конъюнктивный одночлен каждая переменная x_i из набора f (x₁,x₂,..., х_п) входит ровно один раз, причем входит либо сама х_i, либо ее отрицание х_i.

Конструктивно СДНФ для каждой формулы алгебры высказываний, приведенной к ДНФ, можно определить так:

Алгоритм приведение булевых функций к Нормальным Формам при помощи таблиц истинности

Чтобы получить совершенную дизъюнктивную нормальную форму, надо взять все наборы, на которых значение функции равно 1 и записать для каждого из них конъюнкцию переменных и их отрицаний. Если в наборе значение переменной 0 – то переменную надо взять с отрицанием, если 1 – без отрицания. Из получившихся конъюнкций надо построить дизъюнкцию.

Чтобы получить совершенную конъюнктивную нормальную форму, надо взять все наборы, на которых значение функции равно 0 и записать для каждого из них дизъюнкцию переменных и их отрицаний. Если в наборе значение переменной 0 – то переменную надо взять без отрицания, если 1 – с отрицанием. Из получившихся дизъюнкций надо построить конъюнкцию.

Пример 3 (совершенная дизъюнктивная нормальная форма).

Построим совершенную дизъюнктивную нормальную форму функции, заданной следующей таблицей.

x	y	z	f
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

Наборы, на которых функция равна 1 – это (0,1,1), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1). Первый набор даёт конъюнкцию ¬x & y & z, второй – x & ¬y & z, третий – x & y & ¬z, четвёртый – x & y & z. В результате получаем (¬x & y & z) ٧ (x & ¬y & z) ٧ (x & y & ¬z) v (x & y & z).