2.2. Длина дуги кривой

. Длина дуги в прямоугольных координатах.

Длина дуги гладкой кривой , содержащейся между двумя точками с абсциссами и , равна

. (9)

Пример 24. Найти длину дуги полукубической параболы , заключенной между началом координат и точкой (рис. 14)

Решение. Функция определена при , и так как точка лежит в первой четверти, то , следовательно, , .

Рис. 14

.

Пример 25. Найти длину дуги кривой , заключенной между точками с ординатами и .

Решение. В этой задаче за независимую переменную удобнее принять , тогда

и .

Следовательно, .

. Длина дуги кривой, заданной параметрически.

Если кривая, лежащая на плоскости, задана уравнениями в параметрической форме , , , где – непрерывно дифференцируемые функции, то длина дуги кривой равна

. (10)

Если кривая в пространстве задана параметрическими уравнениями , , , где и – непрерывно дифференцируемые функции, то длина кривой вычисляется по формуле

.

Пример 26. Найти длину одной арки циклоиды (рис. 15)

.

Решение. Имеем и .

Поэтому

Пределы интегрирования и соответствуют крайним точкам арки циклоиды.

Рис. 15

Рис. 16

Пример 27. Найти длину астроиды (рис. 16)

Решение. Вычислить длину астроиды проще, если задать ее в параметрическом виде: . Тогда

,

.

Так как кривая симметрична относительно обеих осей, то достаточно найти ее длину в первой четверти

.

Пример 28. Найти длину дуги кривой

.

Решение. Так как ,

, то .

Пример 29. Найти длину дуги кривой

.

Решение. Имеем ,

. Тогда

.

. Длина дуги кривой, заданной в полярных координатах.

Если гладкая кривая задана уравнением в полярных координатах и , то длина дуги равна

, (11)

где и – значение полярного угла в крайних точках дуги .

Если гладкая кривая задана уравнением в полярных координатах и , то длина дуги находится по формуле

, (12)

где и – значения полярного радиуса в крайних точках дуги .

Пример 30. Найти длину всей кривой (рис. 17). Вся кривая описывается точкой при изменениях от 0 до . Решение. Имеем , поэтому длина всей кривой

Рис. 17

.

Пример 31. Найти длину дуги кривой .

Решение.

.

Следовательно,

.

Пример 32. Найти длину дуги .

Решение. Аналогично предыдущему примеру, получим

.

2.3. Объем тела вращения

. Объем тела вращения в прямоугольных координатах.

Объемы тел, образованных вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью и двумя вертикалями и , вокруг осей и выражаются соответственно формулами:

(13)

(14)

Пример 33. Вычислить объемы тел, образованных вращением фигуры: и

а) вокруг оси ;

б) вокруг оси

Решение.

а)

б) .

Объем тела, образованного вращением около оси фигуры, ограниченной кривой , осью и двумя параллелями и , можно определить по формуле:

, (15)

получающейся из приведенной выше формулы (13) путем перестановки координат и .

Пример 34. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями .

Решение. По формуле (15) имеем

.

В более общем случае объемы тел, образованных вращением фигуры, ограниченной кривыми и (причем ) и прямыми и , вокруг координатных осей и вычисляем как разность двух объемов.

Пример 35. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной параболами и .

Решение. Очевидно, что на отрезке от начала координат до точки пересечения парабол (рис. 18). Найдем ординаты точек пересечения парабол, исключив из системы уравнений:

.

Получим . Следовательно,

.

Рис. 18 Рис. 19

Пример 36. Найти объем фигуры, образованной вращением кривой (локон Аньези) вокруг оси .

Решение. Функция непрерывная на всей числовой оси и четная (рис. 6). Поэтому

.

Второй интеграл возьмем по частям

.

В результате получим

.

. Объемы тел вращения, заданных параметрически.

Если кривая задана параметрически: , то объемы тел вращения вычисляются по формулам, аналогичным формулам (13) и (14):

.

Пример 37. Найти объем тела, образованного вращением

фигуры: (см. рис. 15)

а) вокруг оси , б) вокруг оси , в) вокруг прямой .

Решение.

, тогда

а)

,

так как равны нулю.

б)

, так как

в) Перейдем к новой системе координат по формулам

(рис. 20).

Рис. 20

Для нахождения объема «воронки» ОАВСМ применим формулу (13) в новой системе координат.

.

Для нахождения искомого объема надо от объема цилиндра ОАВС вычесть объем «воронки» .

Следовательно, искомый объем равен

.

. Объем тела вращения, заданного в полярных координатах.

Объем тела, образованного вращением вокруг полярной оси фигуры , где ( и – полярные координаты), равен

. (16)

Пример 38. Найти объем тела, образованного вращением кардиоиды вокруг полярной оси.

Решение. Воспользуемся формулой (16). Полярная ось делит кардиоиду на две равные части (рис. 19), которые заметают один и тот же объем. Поэтому интегрируем от 0 до и получаем

.

Пример 39. Найти объем тела, образованного вращением

фигуры, ограниченной линиями вокруг полярной оси.

Решение. При , поэтому, применяя формулу (16),

получим

.

(Последний интеграл берется по частям).

Объем тела, образованного вращением вокруг луча фигуры , вычисляется по формуле

. (17)

Пример 40. Найти объем тела, образованного вращением лемнискаты Бернулли (см. рис. 12)

1. вокруг оси ; 2) вокруг прямой .

В первом случае угол и , поэтому объем

тела вращения будем искать по формуле

.

Так как лемниската симметрична относительно оси , то имеем

.

Во втором случае луч, вокруг которого происходит вращение, идет под углом , поэтому , и две ветви лемнискаты при вращении создают одинаковые объемы, поэтому

.

Второй интеграл равен нулю, так как область интегрирования симметрична относительно , а подынтегральная функция нечетная, в первом интеграле подынтегральная функция четная, поэтому

.