Глава 2 геометрические приложения

2.1. Площади плоских фигур

. Площадь в прямоугольных координатах. Если непрерывная кривая задана в прямоугольных координатах уравнением , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя вертикалями в точках и и отрезком оси абсцисс (рис. 2), определяется формулой

. (5)

Пример 12. Вычислить площадь, ограниченную параболой , прямыми и и осью абсцисс (рис. 3).

Рис. 2

Рис. 3

Решение. Искомая площадь выражается интегралом

.

Пример 13. Вычислить площадь, ограниченную кривой и осью ординат (рис. 4).

Рис. 4

Рис. 5

Решение. Здесь изменены роли осей координат и поэтому искомая площадь выражается интегралом

,

где пределы интегрирования и найдены как координаты точек пересечения данной кривой с осью ординат.

В более общем случае, если площадь ограничена двумя непрерывными кривыми и , двумя вертикалями и , где при (рис. 5), то будем иметь:

. (6)

Пример 14. Вычислить площадь , заключенную между кривыми

и .

Решение. Приравнивая ординаты, находим пределы интегрирования: и . В силу формулы (6) получим:

.

Пример 15. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми

Решение. Так как функция четная, то фигура

симметрична относительно оси (рис. 6), поэтому

Рис. 6

.

. Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной в параметрическом виде.

Если – параметрические уравнения кусочно-гладкой простой замкнутой кривой , пробегаемой против хода часовой стрелки и ограничивающей слева от себя фигуру площадью , то

. (7)

Пример 16. Найти площадь эллипса .

Решение. Кривая замкнута при . Обход совершается против часовой стрелки (рис. 7).

Рис. 7

Применив формулу (7), получим

.

Замечание. Интегралы , равны нулю.

В общем случае интегралы от и по промежуткам, длины которых кратны периоду , равны нулю.

Пример 17. Найти площадь фигуры (рис. 8), ограниченной кривой

.

Решение. Площадь такой фигуры удобнее считать, если кривую задать в параметрическом виде (параметризовать эту кривую): .

Рис. 8

.

Здесь интегралы от равны нулю.

Пример 18. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой

, .

Решение. Надо найти два значения параметра и , такие что равняется . При и мы попадаем в точку (рис. 9).

Рис. 9

.

Пример 19. Найти площадь фигуры, ограниченной аркой циклоиды , и отрезком оси абсцисс (рис. 10).

Рис. 10

Снизу фигура ограничена прямой , это уравнение можно рассматривать как параметрическое: . Мы получаем фигуру с кусочно-гладкой границей, которая на разных участках задается разными формулами. Тогда

.

Замечание. Если участок границы – прямая, параллельная какой-либо оси координат, то интеграл вдоль нее равен нулю.

. Площадь в полярных координатах.

1. Если непрерывная кривая задана в полярных координатах уравнением , то площадь сектора (рис. 11), ограниченного дугой кривой и двумя полярными радиусами и , соответствующими значениям и , выразится интегралом

. (8)

Рис. 11

Рис. 12

Пример 20. Найти площадь, заключенную внутри лемнискаты Бернулли (рис. 12).

Решение. В силу симметрии кривой определяем сначала одну четверть искомой площади

.

Отсюда .

Пример 21. Найти площадь, ограниченную кардиоидой и окружностью .

Решение. На рис. 13 показана фигура, площадь которой требуется найти. Найдем точки пересечения кардиоиды с окружностью. Решив систему уравнений

Рис. 13

находим, что таких точек две: и . Половина искомой площади равна сумме площадей криволинейного сектора и четверти круга . Найдем площадь сектора , где полярный угол изменяется от 0 до .

Откуда искомая площадь равна

.

Пример 22. Найти площадь декартового листа

.

Решение. Перейдем к полярным координатам. Полагая в уравнении кривой , после сокращения на приходим к уравнению в полярных координатах:

.

Так как сам виток кривой отвечает изменению угла от до , то по формуле (8)

.

Заменяя через , приведем подынтегральное выражение к виду

,

откуда легко находится первообразная функция

.

Таким образом,

.

2. Если полярный сектор ограничен лучами и кривой , то площадь этого сектора находится по формуле

, где .

Пример 23. Найти площадь сектора, ограниченного кривой

и двумя лучами и .

Решение. Если , то , если , то , поэтому

.

Первый интеграл возьмем по частям, во втором интеграле выделим целую часть, получим

.