Задание №4

Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = f(x, y) в заданной замкнутой области.

1. z = x² + y²  4xy  4 в квадрате 0  x  4, 0  y  4.

2. z = x²  y² + 4xy  6x  2y в треугольнике, ограниченном осями координат Ox и Oy и прямой y = 4  x.

3. z = x² + 2y² + 4xy + 1 в квадрате -1  x  1, 0  y  2.

4. z = x³ + y³  3xy в квадрате 0  x  4, 0  y  4.

5. z = x²  2y² + 4xy  6x + 5 в треугольнике, ограниченном осями координат Ox и Oy и прямой y = 3  x.

6. z = 2x³ + 4x² + y²  2xy в области, ограниченной параболой y = x², прямой y = 4 и осью Oy (x < 0).

7. z = x² + xy  3x  y  4 в прямоугольнике 0  x  2, 0  y  3.

8. z = x²  2xy + 3 в области, ограниченной параболой y = 4  x² и осью Ox.

9. z = x²  y² + 2xy  2x + 2y + 3 в треугольнике, ограниченном прямыми y = 0, x = 2, y = 2  x.

10. z = x² + y²  6x + 4y + 2 в прямоугольнике 0  x  4, -3  y  2.

11. z = x² + xy  6x  2y + 2 в прямоугольнике 1  x  3, 1  y  4.

12. z = x² – y² + 4xy – 5 в треугольнике, ограниченном осями координат Оx и Oy и прямой y = 2 – x.

13. z = x² + y² – 10x – 2y + 15 в прямоугольнике 2  x  6, 0  y  5.

14. z = x² – 2xy + 4x – 4y + 7 в области, ограниченной параболой

y = – x² – 4x и осью Ox.

15. z = x² + 2y² + 4xy +2x + 4y + 2 в квадрате 0  x  2, 0  y  2.

16. z = x² + 2xy – 4x +8y в прямоугольнике 0  x  1, 0  y 2.

17. z = x² + y² – xy – 4x в треугольнике, ограниченными прямыми

y = 0, x=0, –x + 3y +12 = 0.

18. z = x + y +xy в квадрате 1  x  2, 2  y  3.

19. z = x² + 3y² + x – y в треугольнике, ограниченном прямыми

y = 1, x = 1, y = 1 – x.

20. z = x² + 2y² – xy +3x + 2y + 1 в треугольнике, ограниченном прямыми y = 0, x = 0, y = –5 – x.

21. z = x² + y² – 6x + 4y + 2 в прямоугольнике 1  x  4, –3  y 2.

22. z = x² – y² + 2xy + 4x в треугольнике, ограниченном прямыми

y = 0, x = 0, y + x + 2 = 0.

23. z = x² + 2y² + 4xy + 2x + 4y + 2 в квадрате 0  x  2, 0  y  2.

24. z = x² + y² – 9xy + 27 в квадрате 0  x  3, 0  y  3.

25. z = x² + xy в прямоугольнике –1  x  1, 0  y  3.

26. z = x² + y² + xy в квадрате 2  x 3, 0  y  1.

27. z = 2x² + y² + 3xy в прямоугольнике 0  x  1, 2  y  4.

28. z = x² + xy – 2 в области, ограниченной графиками функций

y = 0, y = 4x² –4.

29. z = x² + y² – xy в квадрате 1  x  2, 0  y  1.

30. z = x² –2y² + 3 в квадрате 0  x 1, 1  y  2.

31. z = x⁴ + y⁴ в квадрате 2  x  3, 1 y  2.

32. z = 4x² + 2y² в квадрате 1  x  2, 2  y  3.

33. z = 4x² + 2y² в квадрате 0  x  2, 2  y  4.

34. z = x² + 5y² в квадрате 1  x  0, 1  y  2.

35. z = 5x² + 3y² в квадрате 0  x  1, 2  y  3.

36. z = x² + 2xy + 10 в области, ограниченной графиками функций y = 0, y = 4  x².

37. z = x² + 3y² + x  y в треугольнике, ограниченном прямыми

y = 1, x = 1, y + x  1 = 0.

Задание № 5

Данную функцию z = f(x,y) исследовать на экстремум

1. z = x² + y² + xy  3x  6y  2.

2. z = 2x² + y²  xy  3x  y + 1.

3. z = 3x²  y²  2xy  2x + 3.

4. z = 2x²  y² + xy 7x + 5y + 2.

5. z = x²  y²  3xy  2x + 6y +1.

6. z = 3x²  6y² + xy  6x  y + 9.

7. z = x² + 2y²  4x + 6y  2.

8. z = 4x² + y²  2xy  2x  4y +1.

9. z = 0,5x² + y² + xy  x  2y +8.

10. z = 8x² + 2y²  xy  16x +y  1.

11. z = 2x² + 3y²  2xy +2x  16y +3.

12. z = 2x²  y² +6xy  14x +5.

13. z = 2x²  y² + 3xy  2x +7y +6.

14. z = 3x²  2y² + 10xy  26x + 18y  1.

15. z = 3x² + 2y²  2xy + 18x +8y  1.

16. z = 3x² + 5y²  8xy +4x + 26y.

17. z = 2x²  3y²  2xy + 8x + 10y  6.

18. z = 5x²  3y² + 2xy  18x  10y + 4.

19. z = 7x²  5y² + 2xy  34x + 34y.

20. z = 2x²  3y² + 2xy  10x +16y  7.

21. z = x²  2y² + xy +x + 10y  8.

22. z = 3x² + y² + 3xy  6x  2y + 1.

23. z = x²  4y² + 3xy + 4x  6y  1.

24. z = 3x² + 3y² + 5xy + 4x + 7y + 5.

25. z = x²  3y² + 3xy  x  4y + 1.

26. z = x² + y² +3xy  x  4y + 1.

27. z = 3x² + 3y² + 5xy + x y + 5.

28. z = 3x² + 3y² + 5xy + x  y + 5.

29. z = x²  y² + 2xy + 6x  10y + 1.

30. z = 5x²  y²  4xy  4x  2y.

31. z = x² + y² + 2xy.

32. z = 3x²  y².

33. z = 4x² + y².

34. z = x²  4xy.

35. z = xy + 3x².

36. z = x + 4xy².

37. z = x² + 7y².