II. Задачи для самостоятельной работы по теме «Нелинейное программирование» Задание №1

Вычислить производные первого и второго порядков от заданных функций.

1. z =tg x / y.

2. z = arcos(y / x).

3. z = ln(x² + 4y)^1/2

4. z = arcctg (y / x).

5. z = 3sin(x³ + y²) – 5x³ y  7.

6. z = 8ln(xy²) + 10xy²  8x.

7. z = 2e^{3x + y}  2x⁵y + 9y.

8. z = 8cos(xy)  3x  12x⁴y.

9. z = 3(x² + y²)^1/2  xy⁵ + 8y.

10. z = xsin(xy) + 8x²y²  7x.

11. z = 0,5ln(x³ + y²)  9x³y + 2x.

12. z = (x + 2y)^1/2 + 3x⁴y  8x  2.

13. z = (x + 5y)⁵ + 8x³y  5x  4.

14. z = sin(5x²y) + 4x³y  7x.

15. z = 9cos(x  y)  3x²  7x³y.

16. z = 6e^x+2y  12x⁴y + 18y.

17. z = tg(5xy) + 2xy.

18. z = arccos(3y + x).

19. z =ln(x³ + 2y²).

20. z = arcctg(3yx²).

21. z = (2x  3y)⁴  7x⁵y + 2x + 17.

22. z = ctg(2xy²) + 4xy.

23. z = 2^xy + 3xy⁵  y + 1.

24. z = arcsin(xy) + xy³ + 5.

25. z = (x + 4xy)⁷ + 8xy⁵  2.

26. z = ln(x⁵ + 2xy⁴)  2xy + 7.

27. z = 3^{x + 2y} + xy⁵  x + 2.

28. z = cos(xy³) + 2yx²  7x³y.

29. z = 2e^{3x + y}  2x⁵y + 9y.

30. z = arcctg(3y + x²).

31 z = (x + 5xy)³ + 4xy⁵  2.

32 z = 8^xy + 4xy⁶  7y + 4

33. z =ln(x⁴ + 7y⁵).

Задание №2

Дана функция z = f(x,y) и точки P₁(x₁;y₁) и P₂(x₂;y₂). Найти приближенное значение данной функции в точке P₂(x₂;y₂), исходя из ее точного значения в точке P₁(x₁;y₁).

1. z = arcctg(x/y), P₁(2,2),P₂(1,92;2,12).

2. z = (2x²  y² + 1)^1/3, P₁(6,3),P₂(6,14;3,16).

3. z = ln(5x²  y²)^1/2, P₁(1,2),P₂(1,02;1,85).

4. z = x^y, P₁(1,2),P₂(1,05;1,94).

5. z = (4x²  y² + 4y)^1/4, P₁(2,4),P₂(1,96;4,16).

6. z = (x² + y²)^1/3, P₁(1,0),P₂(1,02;0,05).

7. z = x^y + lnx, P₁(1,2),P₂(1,04;1,99).

8. z = (5e^x + y²)^1/2, P₁(0,2),P₂(0,02;2,03).

9. z = ln(x³ + y³), P₁(0,1),P₂(0,09;0,99).

10. z = arcsin(y  x), P₁(4,3),P₂(3,9;3,01).

11. z = 3e^xy, P₁(0,1),P₂(0,01;0,98).

12. z = ln(x²  3y²), P₁(2,1),P₂(2,1;0,9).

13. z = arcctg(y/x), P₁(2,2),P₂(2,1;2,2).

14. z = 2xy, P₁(5,4),P₂(5,01;3,97).

15. z = 4(x + y²)^1/2, P₁(12,2),P₂(12,02;2,01).

16. z = 2(x⁴ + y³)^1/2, P₁(1,2),P₂(1,01;1,99).

17. z = y^x, P₁(1,1),P₂(0,95;1,04).

18. z = (x³ + y)^1/3, P₁(2,117),P₂(2,01;117,1).

19. z = (x³ + 2y  7)^1/4, P₁(4,12),P₂(4,06;11,98).

20. z = (2x² + y + 13)^1/3, P₁(-8,-16),P₂(-7,85;-15,97).

21. z = (3x²  5y  2)^1/2, P₁(9,9), P₂(9,08;8,99).

22. z = (5x⁴ + y  3)^1/4, P₁(2,4),P₂(1,92;3,98).

23. z = (3x² + 21y  5)^1/2, P₁(2,2),P₂(2,01;1,99).

24. z = (x³ + 3y² + 8)^1/3, P₁(-4,-4),P₂(-4,03;-4,02).

25. z = (8x² + 3y  9)^1/4, P₁(3,6),P₂(2,88;5,98).

26. z = (3x² + y³ + 8)^1/3, P₁(-4,-4),P₂(-3,99;-4,01).

27. z = (2x + y³  7)^1/4, P₁(12,4),P₂(12,01;3,99).

28. z = (3x² + 8y  16)^1/3, P₁(4,4),P₂(3,94;4,01).

29. z = (5x² + y  1)^1/2, P₁(5,9),P₂(5,08;8,99).

30. z = (y²  2x + 8)^1/5, P₁(6,6),P₂(5,84;6,01).

31. z = 5(x⁴ + y³)^1/2, P₁(1,2),P₂(1,01;1,99).

32. z = (4x² + y + 12)^1/3, P₁(-8,-16),P₂(-7,86;-15,99).

33. z = (3e^x + y²)^1/2, P₁(0,2),P₂(0,02;2,04).

Задание №3

Дана функция z = f(x,y). Найти градиент и производную этой функции в заданной точке M(x₀;y₀) в направлении вектора a, составляющего угол  с положительным направлением оси Ox.

1. z = x²/3 + xy³/4, M(1,-1),  = /4;

2. z = tgx + x  2siny, M(/4, /3),  = /4;

3. z = 3x²y + (xy)^1/2, M(2, 2),  = /6;

4. z = 2cos(x + y) + 2x, M(/6, /6),  = /3;

5. z = xsin(x + y)  1, M(/6, /6),  = /3;

6. z = ln(x² + y²), M(2,2),  = /6;

7. x³/3 + y⁴/4, M(1, -2),  = /4;

8. z = xtgy + cosx, M(/6, /4),  = /4;

9. z = ln(x + 2y)  xy, M(1, 1),  = /3;

10. z = e^x-y, M(2,2),  = /6;

11. z = x²  2xy, M(1,1),  = /2;

12. x³ + 3xy², M(1, 2),  = ;

13. z = cos(xy) + x², M(1, /4),  = /6;

14. z = ctg(x + y)  xy³, M(/8, /8),  = /3;

15. z = sinx + xy², M(/3, 1),  = /4;

16. z = ln(3x² + 4y²), M(1, 1),  = ;

17. z = xtg(y + x), M(/6, /6),  = /4;

18. z = (x² + y²)^1/2, M(3, 4),  = /6;

19. z = x² + y², M(-2, 0,5),  = /4;

20. z = x³ + 5xy, M(-1, 2),  = /2;

21. z = ln(e^x + e^y), M(0, 1),  = /3;

22. z = x² + x/2  1/y, M(1, 1),  = /4;

23. z = x  3y + (3xy)^1/2, M(3, 4),  = /6;

24. z = arcsin(x²/y), M(1, 2),  = /2;

25. z = (xy)^1/2, M(7, 7),  = /6;

26. z = x³ + 5xy, M(-1, 2),  = /2;

27. z = 2x⁴ + 3xy, M(1, 2),  = /4;

28. z = yx³ + 6xy², M(0, 1),  = /6;

29. z = 3x⁵y + 4xy³, M(-1, -1),  = /2;

30. z = 2xy³ + 15xy, M(0, 4),  = /3;

31. z = x³ + 5xy, M(1, 2),  = /6;

32. z = sin2x + xy², M(/4, 1),  = /2;

33. z = x² + x/5  3/y, M(1, 2),  = /4;