Разыгрывание непрерывной случайной величины с произвольной плотностью распределения.

Существует несколько методов преобразования равномерного распределения на интервале (0,1) в распределение с заданной плотностью на интервале . Один из них состоит в решении следующего уравнения:

(3.1)

где число из равномерного распределения на (0,1), а значение случайной величины, распределённой с плотностью на .

Функция является монотонно возрастающей, так как . Любая прямая параллельная оси абсцисс пересекает функцию в единственной точке. Абсцисса этой точки является искомым значением случайной величины, распределённой с плотностью . Таким образом, уравнение имеет всегда единственное решение.

Выберем на оси абсцисс произвольный интервал внутри интервала . Точкам этого интервала соответствуют точки интервала на оси ординат . Поэтому если принадлежит интервалу , то принадлежит интервалу и наоборот. Значит,

(3.2)

Так как величина равномерно распределена на отрезке (0,1), то

(3.3)

Применение доказанного соотношения для плотности распределения в виде затухающей экспоненты.

Интегралы редко берутся. В этом главный недостаток рассмотренного метода. На практике часто достаточно использовать численное интегрирование. Плотность Распределение непрерывной величины часто достаточно рассматривать в конечном числе точек и плотность распределения представить в виде гистограммы. Значения интеграла удобно заранее вычислить для нужных точек и ввести в память в виде массива F. Тогда получение нового случайного числа с распределением по случайному числу из равномерного распределения сведётся просто к перебору элементов массива F.

Получение приближённого нормального распределения

В теории вероятностей и её приложениях большое значение имеет т.н. «нормальное распределение». Это непрерывное распределение с плотностью, записываемой в виде.

(3.4)

Оно характеризуется двумя параметрами и . Первый параметр равен математическому ожиданию и характеризует среднее арифметическое значение. Второй параметр равен квадратному корню из дисперсии и характеризует ширину распределения.

Нормальное распределение чрезвычайно часто встречается при статистическом анализе самых разных величин в науке и технике. Например, форма неоднородно уширенного спектрального контура, чаще всего, описывается нормальным распределением. Причину такой его распространённости даёт центральная предельная теорема теории вероятности, формулируемая следующим образом.

Если случайная величина представляет собой сумму большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму невелико, то имеет распределение близкое к нормальному.

Эта теорема даёт теоретическое обоснование для следующего метода получения нормально распределённых случайных чисел на основе стандартного генератора случайных чисел, дающего равномерно распределённые числа на промежутке (0,1).

Чтобы разыграть возможное значение нормальной случайной величины с параметрами и , надо сложить 12 случайных чисел r_i из равномерного распределения на интервале (0,1) и из полученной суммы вычесть 6.

(3.5)

В общем случае это правило выглядит следующим образом:

(3.6)