Б. Попарное сравнение объектов

Часто затруднительно напрямую оценить важность некоторого объекта среди ряда других. Подобная ситуация может иметь место при наличии объектов различной природы. Например, среди ранжируемых показателей эффективности могут быть показатели, имеющие определенное стоимостное выражение, а также показатели этического, эстетического рода и т.п. Указанное затруднение преодолевается посредством попарного сравнения объектов по степени их влияния на достижение цели. При этом эксперт должен вынести суждение о том, насколько с точки зрения достижения цели один объект важнее второго. Анализируя совокупность объектов, эксперт определяет численное предпочтение одного объекта перед другим по некоторой заранее выбранной шкале отсчета. Простым примером может служить выбор места работы выпускником ВУЗа. Выпускник должен оценить, насколько для него уровень оплаты труда, например, важнее, чем перспективы продвижения по служебной лестнице и т.д.

Пусть эксперт анализирует объектов. Сравнивая их попарно между собой, он определяет чисел , каждое из которых характеризует, по мнению эксперта, относительную значимость - го объекта по сравнению с - м. Величина представляет оценку (приближенное значение) истинной значимости сравниваемых объектов. Совокупность экспертных оценок можно записать в виде квадратной матрицы:

Элементы этой матрицы (относительные значимости объектов) можно рассматривать как отношения истинных важностей:

(6.11)

При оценке относительных значимостей используется обычно девятибальная шкала (см. табл.6.1).

Таблица 6.1.

Девятибалльная шкала относительной важности объектов

Степень важности	Определение	Пояснения
1	Объекты одинаково важны	Оба объекта вносят одинаковый вклад в достижение цели
3	Один объект немного важнее другого	Есть основания предпочесть один объект другому, но их нельзя считать неопровержимыми
5	Один объект существенно важнее другого (сильное превосходство)	Существуют веские свидетельства того, что один из объектов более важен
7	Один объект явно важнее другого	Имеются неопровержимые свидетельства превосходства одного объекта над другим
9	Один объект абсолютно важнее другого	Превосходство одного объекта над другим не вызывает сомнения
2, 4, 6, 8	Значения, приписываемые промежуточным суждениям	Используются, когда выбор между двумя соседними нечетными числами затруднителен

Из формулы (6.11) следует, что из общего числа всех элементов матрицы попарного сравнения независимыми являются лишь . Во-первых, диагональные элементы матрицы равны единице. Во-вторых, при изменении порядка сравнения оценка относительной значимости объекта должна меняться на обратную:

(6.12)

Это означает, что элементы матрицы попарного сравнения, расположенные симметрично относительно главной диагонали, представляют собой взаимно обратные числа.

Чрезвычайно важным является требование транзитивной согласованности элементов матрицы , которое означает, что должны выполняться условия:

(6.13)

Данные условия могут быть доказаны с помощью определения (6.11).

Матрица попарного сравнения объектов, элементы которой удовлетворяют условиям (6.11) – (6.13), называется согласованной. Следует отметить, что при попарном сравнении объектов эксперту не всегда удается выполнить условие транзитивной согласованности. В принципе, допускается некоторая степень несогласованности матрицы попарных сравнений.

По матрице попарного сравнения , составленной экспертом, легко могут быть оценены важности объектов . Используя соотношение (6.11) легко показать, что в случае согласованной матрицы справедливы соотношения:

………………

Приведем простой пример. Пусть матрица попарного сравнения имеет вид:

Легко убедиться в том, что данная матрица удовлетворяет условиям согласованности; расчет дает .

Если матрица не является согласованной, то нахождение вектора оценок следует вычислять как нормированный собственный вектор матрицы , соответствующий ее наибольшему собственному числу. Часто расчеты подобного рода проводятся рекуррентно. Пусть - начальное приближение искомого вектора . Итерационный процесс описывается уравнением:

(6.14)

Полагая , получим первое приближение: где в правой части после умножения на получается некоторый вектор . После нормировки он представляется в виде , где - нормирующая константа, - нормированный вектор (т.е. вектор, сумма составляющих которого равна единице).

Определив , подставим его в правую часть уравнения (3.14) и повторяем вычисления.

Как правило, итерационный процесс продолжается до тех пор, пока величины - го приближения не будут отличаться от соответствующих величин -го приближения не более, чем на (обычно принимают ). Скорость сходимости итерационного процесса зависит от выбора начального приближения. Часто в качестве выбирают первый столбец матрицы .

Пример. Для матрицы попарного сравнения:

вычислим с помощью итерационной процедуры максимальное собственное число и соответствующий ему собственный вектор. В качестве начального приближения возьмем первый столбец матрицы. Получим:

.

Суммируя составляющие, найдем первое приближение для максимального собственного числа . Тогда:

Вычисляя второе приближение, получим:

Суммируя компоненты этого вектора, получим . Поэтому:

Дальнейшие вычисления не меняют результат.

Приведем пример расчета в Excel матрицы попарных сравнений в случае несогласованной исходной матрицы.

Пример 2.

Исходная матрица попарных сравнений имеет вид:

.

Легко убедиться в том, что данная матрица не является согласованной.

Введем расчетные формулы в соответствии с Рис. 6.3. Как и в предыдущем примере, итерационный расчет будем проводить при использовании в качестве начального приближения первого столбца исходной матрицы попарных сравнений.

Рис. 6.3. Формулы и исходные данные для решения примера 2

Расчет показывает (см. ниже), что в данном случае согласованные результаты получаются (с достаточно высокой точностью) уже после 2-3 итераций. После четвертой итерации результаты практически не изменяются. Таким образом, данный простейший алгоритм позволяет существенно упростить процедуру расчета матрицы попарных сравнений в случае, когда исходная матрица является несогласованной.