6.1.Имитационое моделирование - Метод статических испытаний

В подобных случаях, когда построение математического описания процесса связано с большими трудностями или вообще невозможно, применяется другой метод моделирования, известный под название имитационного моделирования или метода статистических испытаний или метода Монте-Карло.

Идея метода достаточно проста. Вместо описания случайного явления с помощью математических зависимостей, осуществляется «розыгрыш» – моделирование случайного процесса с помощью некоторой процедуры, дающей случайный результат. При этом мы получаем одну реализацию случайного явления, одно случайное событие в общем потоке. Повторяя такой розыгрыш много раз, мы получим богатый статистический материал, который можно обработать методами теории вероятности и математической статистики.

Часто такой подход оказывается значительно проще, чем поиск путей построения математического описания для исследования явления. Для сложных операций в больших системах метод статистических испытаний может оказаться единственно возможным.

6.2. Методы формирования случая

Основным элементом метода Монте-Карло является одна случайная реализация исследуемого процесса, например, аварийный выход установки, сбрасывание бомбы, появления посетителя, запрос на выдачу справки и т.п.

Случайная реализация разыгрывается с помощью специального алгоритма, в котором важную роль играет «розыгрыш» или «бросание жребия».

Единичным жребием называют любой элементарный опыт, в котором дается ответ на один из вопросов:

1. Произошло или нет событие А?

2. Какое из событий А₁, А₂, …, А_n произошло?

3. Какое значение приняла случайная величина х?

4. Какую совокупность значений приняла система случайных величин х₁, х₂, …, х_n?

Единичный жребий любой разновидности можно осуществить на основе генерации случайного числа R, имеющего равномерное распределение на отрезке от 0 до 1.

1. Произошло или нет событие а?

Для этого надо знать вероятность р наступления события. Розыгрыш случайного числа R и проверка условия позволяют ответить на этот вопрос: если условие выполнено, то событие А произошло, иначе событие А не состоялось.

2. Какое из событий а1, а2, …, Аn произошло?

Полагаем, что эти события несовместны и образуют полную группу, т.е. сумма их вероятностей р₁, р₂, …, р_n равна единице. Интервал (0, 1) делится на n участков (рис. 6.1). Свершившееся событие определяется участком, на который попало случайное число R.

Рис. 6.1

3. Какое значение приняла случайная величина х?

Если случайная величина х дискретна и может принимать значения х₁, х₂, …, х_n с вероятностями р₁, р₂, …, р_n, то выпадающее значение х определяется как и в предыдущем случае.

Интерес представляет случай, когда случайная величина х непрерывна и задана плотностью распределения f(x). Например, график плотности случайной величины х, имеющей нормальное распределение в интервале показан на рис. 6.2, а. Заметим, что площадь, ограниченная графиком, равна единице. С помощью этого графика можно определить вероятность того, что случайная величина х будет меньше величины а. Эта вероятность определяется заштрихованной площадью.

Д ля определения вероятности удобнее использовать функцию распределения F(x), график которой показан на рис. 6.2, б.

Функция распределения F(x) и плотность распределения связаны формулой

. (6.1)

По кривой F(x) можно определить вероятность (см. рис. 6.2, б).

Случайную величину х можно найти по розыгрышу R путем поиска такого значения х, при котором F(x) = R.

На практике часто используется нормальное распределение случайных величин. Для облегчения расчетов при работе с нормальным законом распределения переходят от реальной случайной величины х к нормированной случайной величине:

, (6.2)

где – математическое ожидание,

– стандартное отклонение.

При этом вероятность случайной величины х не превышающей а будет:

, (6.3)

где .

Для определения Ф(t) имеются специальные таблицы.

Розыгрыш значения случайной величины х, меняющейся по закону нормального распределения, осуществляется сложением шести реализаций случайных чисел

. (6.4)

Полученное z имеет распределение достаточно близкое к нормальному. Для обеспечения заданного значения математического ожидания и стандартного отклонения величину z преобразуют

. (6.5)