Решение транспортных задач методом потенциалов

Исследуется план на оптимальность следующим образом:

Склады	магазины			Запас Qi
	№1	№2	№3
I	2 1 000 —	2 + 800	3	1800	i = 1
Kj;iiII	+ 3	— 4 400	2 2200	2600	i = 2
Спрос bj	1000	1200	2200	4400
	j = 1	j = 2	j = 3

По каждой строке и столбцу определяют потенциалы по формуле:

Для занятых клеток (1.1) (1.2) (2.2) (2.3)

Vj + Ui = Cij

Vj – потенциал столбца

Ui – потенциал строки

Cij – тариф (показатель) занятой клетки

1.1) V₁ + U₁ = 2 V₁ = 2 U₁ = 0

1.2) V₂ + U₁ = 2 V₂ = 2

2.2) V₂ + U₂ = 4 U₂ = 2

2.3) V₃ + U₂ = 2 V₃ = 0

Для свободных клеток (1.3) (2.1) определяется характеристика по формуле

dij= Cij — (Vj + Ui)

dij – характеристика свободной клетки

Vj – потенциал столбца

Ui – потенциал строки

Cij – тариф свободной клетки

При решении задачи на min целевой функции dij  0

1.3) d_1.3= 3 — (V₃ + U₁) = 3 — (0 — 0) = + 3

2.1) d_2.1= 3 — (V₁ + U₂) = 3 — (2 + 2) = — 1

т.к. d_2.1 = — 1, следовательно план в табл. 1 не оптимальный улучшаем его путем сдвига по циклу

4) План улучшается за счет клетки с отрицательной характеристикой 2.1)

Для этого: в цикле Кл. 2.1 просматривают объемы в отрицательных вершинах (1000 и 400) и выбирают наименьший (400), производят сдвиг по циклу . Этот наименьший оъем к объемам в положительных вершинах прибавляют, а от объемов в отрицательных вершинах вычитают, т.е. получим новый план в табл. 2

Получим новый план в табл. 2

Таблица 2

Склады	магазины			Запас Qi
	№1	№2	№3
I	2 600	2 1200	3	1800
II	3 400 +	4	2 2200	2600
Спрос bj	1000	1200	2200	4400

х₁₁ = 600 т х₂₂ = 400 т

х₁₂ = 1200 т х₂₃ = 2200 т

F (x) = 2*600 + 2*1200 + 3*400 + 2*2200 = 9600 т. руб

Потенциалы занятых клеток:

1.1) V₁ + U₁ = 2 V₁ = 2 U₁ = 0

1.2) V₂ + U₁ = 2 V₂ = 2

2.2) V₁ + U₂ = 3 U₂ = 1

2.3) V₃ + U₂ = 2 V₃ = 1

Характеристики свободных клеток:

d_1.3= 3 — (V₃ + U₁) = 3 — (1 — 0) = + 2

d_2.2= 4 — (V₂ + U₂) = 4 — (2 + 1) = + 1

т.к. dij  0, то план во 2 таблице оптимальный.

Анализ оптимального плана:

Груз с I склада 1800 т будет доставлен:

600 т в магазин 1

1200 т в магазин 2

а со II склада 2600 т будет доставлен

400 т в магазин 1

2200 в магазин 3

При этом спрос магазинов будет удовлетворен:

в магазине 1000 т;

в магазине 2 1200 т;

в магазине 3 2200 т.

Затраты на перевозку составят 9200 т. руб.