5. Уравнение множественной линейной регрессии

Рассмотрим случай множественной линейной регресии: и(x) = и(x₁, x₂,…, x_т) = + x₁ + x₂ + … + x_т, и в результате п измерений получены п значений и⁽ⁱ⁾ для каждого набора значений аргументов ( ). В этом случае минимизируется функция F( , , …, ) = . Из условий: F/ = 0,…, F/ = 0, получаем (т + 1) уравнений:

или, полагая B = , V = , А = , получим АВ = V, откуда В = А^–1V.

Если построить матрицы Х = и U = ,

то Х ^ТХ =  =

п = пА; Х ^ТU= 

= п = пV, следовательно, А = Х ^ТХ, V = Х ^ТU, и равенство АВ = V принимает вид Х ^ТХВ = Х ^ТU, откуда

В = (Х ^ТХ)^{– 1}Х ^ТU .

Эта формула позволяет достаточно быстро, используя, например, табличный редактор Ехсеl, получить значения числовых параметров эмпирической функции при множественной линейной регрессии. Для этого достаточно составить матрицы Х и U по результатам выполненных п измерений, т.е. по выборке объема п.

Для установления значимости на уровне  уравнения множественной линейной регрессии и(x) = + x₁ + x₂ + … + x_т, в котором по выборочным данным определяются m + 1 параметров, используется F-критерий Фишера-Снедекора. Наблюдаемое значение критерия K_н = (n – m – 1)·Q_R/Q_ост, где Q_R = – вариация зависимой переменной, учтенная регрессией; Q_ост = – остаточная вариация, характеризующая влияние неучтенных факторов. Если K_н  F_(k₁, k₂), где степени свободы k₁ = m, k₂ = n – (m + 1), то на уровне  полученное уравнение регрессии значимо.