Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
пособие полное.doc
Скачиваний:
3
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
1.91 Mб
Скачать

3. Плоские электромагнитные волны

3.1 Характеристики плоской скалярной волны

Волнами называются колебательные движения непрерывных сред. ЭМВ попадают под это определение. Для уяснения основных моментов колебаний рассмотрим простейший случай – однородную плоскую скалярную волну. Математически такая волна описывается формулой

(3.1)

Процесс изменяется в пространстве (z) и во времени (t), Vm - амплитуда волны, ω - круговая частота, β - коэффициент фазы.

Временная и пространственная зависимость описывается гармонической функцией. В точке z = 0 .

В точке z > 0 , т.е. колебания запаздывают на величину βz . Уточним временную зависимость колебаний. В начальный момент времени (t = 0) .

Коэффициент фазы β играет здесь роль пространственной частоты. Размерность β - рад./м., 1/м. Временной период волны ,

Пространственный период λ - длина волны .

На рис. 3.1 показано пространственное изменение поля для двух моментов времени.

Рис. 3.1

Рассматриваемая волна называется плоской, это значит, что в любой плоскости, перпендикулярной оси 0Z, волна имеет одинаковую фазу. Эта плоскость называется фронтом волны. Уравнение фронта волны

Скорость перемещения фронта волны называется фазовой скоростью

(3.2)

Волна, распространяющаяся в направлении убывания координаты z, записывается аналогично (3.1)

(3.3)

и имеет такую же скорость распространения, как и прямая.

Реальные среды обладают потерями, что приводит к затуханию волны в процессе распространения. Закон изменения амплитуды волны можно записать так

,

где α - коэффициент затухания ( ослабления ) плоской волны с размерностью 1/м.

В расчетах также пользуются логарифмической единицей – погонным затуханием

. (3.4)

Пространственная структура затухающей волны представлена на рис.3.2.

Рис. 3.2

Коэффициент фазы β и коэффициент затухания α являются показателями экспоненты и могут быть объединены в единую комплексную величину, которая зазывается коэффициентом распространения

(3.5)

В среде без потерь коэффициент распространения величина чисто мнимая .

3.2 Плоская электромагнитная волна

Электромагнитная волна (ЭМВ) - это колебания векторов поля и , распространяющихся в среде с заданными электрофизическими параметрами , . Ориентация вектора в пространстве определяет плоскость поляризации ЭМВ.

Плоская ЭМВ удовлетворяет двум исходным требованиям:

1. Составляющая , с другой стороны ;

2. зависит только от координаты, вдоль возрастания которой распространяется волна (для определенности это координата z) и, следовательно, .

Из второго уравнения Максвелла для комплексных амплитуд (2.14) с учетом отмеченных выше положений пунктов 1 и 2 получим:

, (3.6)

Подставляя в первое уравнение (2.14) и выполняя дифференцирование, получим дифференциальное уравнение второго порядка для

, (3.7)

где

. (3.8) Общее решение уравнения (3.7) представляет собой сумму экспонент

, (3.9)

где γ1, γ2 - корни уравнения (3.8).

На рис. 3.3 показано расположение γ2, γ1 и γ2 на комплексной плоскости.

Рис. 3.3

Корень лежит в первом квадранте и γ2 = - γ1. Формулу (3.9) перепишем следующим образом

(3.10)

и отметим, что (3.10) является решением уравнения (3.7), которое называется уравнением Гельмгольца.

Вернувшись теперь к (3.6) , запишем для составляющей напряженности магнитного поля волны, бегущей в сторону

(3.11)

Из (3.11) видно, что и связаны в любой точке коэффициентом пропорциональности, который имеет размерность Ом называется характеристическим ( волновым ) сопротивлением волны т.е.

. (3.12)

Плотность потока мощности, переносимой плоской ЭМВ, равна среднему значению модуля вектора Пойтинга

(3.13)

В заключение отметим основные особенности плоской ЭМВ:

1. Векторы поля и перпендикулярны между собой.

2. В каждой точке пространства комплексные амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей связаны между собой коэффициентом пропорциональности – характеристическим сопротивлением.

3. Ориентация вектора показывает направление распространения волны и направление переноса мощности.

4. Векторы , , образуют правую тройку векторов и подчиняются правилу буравчика.