Законы сохранения в механике

№ 1 Шар массы , движущийся со скоростью , налетает на покоящийся шар массы (рис. 1). Могут ли после соударения скорости шаров, и , иметь направления, показанные на рис. 2 (а и б).

Ответ: могут в случае б

№2 Шар массой , движущийся со скоростью , налетает на покоящийся шар массой  (см. рис.1). Если удар абсолютно неупругий, скорость шаров (в м/с) после удара равна 

Ответ: 0,5

№3 Диск и обруч, имеющие одинаковые массы и радиусы, вкатываются без проскальзывания с одинаковыми скоростями на горку. Если трением и сопротивлением воздуха можно пренебречь, то отношение высот ,, на которые смогут подняться эти тела, равно …

Ответ: ¾.

№4 График зависимости кинетической энергии тела, брошенного с поверхности земли под некоторым углом к горизонту, от высоты подъема имеет вид, показанный на рисунке …

Р ешение: Из закона сохранения механической энергии  . Отсюда , то есть зависимость E_k (h) – линейная, причем, если h =0,

; если же h=h_max , . Поэтому график зависимости кинетической энергии от высоты подъема тела, брошенного с поверхности земли под некоторым углом  к горизонту, имеет вид.

№5

Тело массы m, прикрепленное к пружине с жесткостью k, может без трения  двигаться по горизонтальной поверхности (пружинный маятник). График зависимости кинетической энергии тела от величины его смещения из положения равновесия имеет вид, показанный на рисунке …

Р ешение: По условию задачи трение отсутствует. Следовательно, в системе выполняется закон сохранения механической энергии: , где А – амплитуда колебаний. Отсюда . Это уравнение параболы со смещенной вершиной; ветви параболы направлены вниз. Поэтому график зависимости кинетической энергии тела от величины его смещения из положения равновесия имеет вид.

№ 6 Тело массой m, прикрепленное к пружине жесткостью k, может без трения двигаться по горизонтальной поверхности (пружинный маятник). Если А – амплитуда колебаний, то при смещении тела из положения равновесия на величину  скорость тела составит… 

Решение: По условию задачи трение отсутствует. Следовательно, в системе выполняется закон сохранения механической энергии: , где А – амплитуда колебаний. Отсюда . C другой стороны

, отсюда .

№7 Фигурист вращается вокруг вертикальной оси с определенной частотой. Если он прижмет руки к груди, уменьшив тем самым свой момент инерции относительно оси вращения в 2 раза, то …

Решение: Согласно закону сохранения момента импульса . Здесь J – момент инерции фигуриста относительно оси вращения, ω – угловая скорость его вращения вокруг этой оси. Отсюда с учетом того, что ω=2πn , где n – частота вращения, . Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна: . Тогда . Таким образом, частота вращения фигуриста и его кинетическая энергия возрастут в 2 раза.

№8 Шар и полная сфера, имеющие одинаковые массы и радиусы, вкладываются без проскальзывания на горку. Если начальные скорости этих тел одинаковы, то …

Р ешение: Воспользуемся законом сохранения механической энергии. Полная энергия тел не изменяется, поэтому . Кинетическая энергия плоского движения твердого тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс: . В последней формуле - момент инерции тела относительно оси, В последней формуле – момент инерции тела относительно оси, проходящий через его центр масс ; –скорость его центра масс. Из условия отсутствия проскальзывания следует, что мгновенные скорости точек касания тела о горку равны нулю, то есть угловая скорость . В нашем случае, энергии тела в первом и во втором состояниях равны: , Из закона сохранения энергии следует . Анализируя последнюю формулу, видим, что при равенстве масс, скоростей радиусов однородного шара и полой сферы . Сравним моменты инерции тел, обозначив их у шара , у полой сферы - . Момент инерции –величина, характеризующая распределение массы тела относительно оси вращения и являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении. Вся масса полой сферы находится на расстоянии от оси вращения, а у шара распределена равномерно вдоль радиуса сферы. Тогда , следовательно, . Значит, полая сфера поднимается на горку выше, чем однородный шар.

№ 9 В случае действия на тело центральной силы радиус-вектор, проведенный к нему из центра, описывает в равные промежутки времени равные площади. (В этом, собственно, и состоит по отношению к движению планет второй закон Кеплера.) Если в начальный момент расстояние от планеты до Солнца r , скорость v, угол между скоростью планеты и радиус-вектором r равен α, то за время t радиус-вектор, проведенный от Солнца к планете, опишет площадь…

Р ешение: Закон равных площадей или 2-й закон Кеплера является следствием закона сохранения момента импульса для движения в центральном поле. Выразим момент импульса тела через заданные параметры начального положения: . Из закона сохранения момента импульса следует, что величина , т.е. должна оставаться постоянной в процессе движения. Площадь, описываемая радиус-вектором за бесконечно малый промежуток времени будет равна площади треугольника с гипотенузой r, катетами и , то есть . Следовательно, за время t радиус-вектор, проведенный от Солнца к планете, опишет площадь .

№10 Находясь на расстоянии по направлению к Луне летит метеорит, скорость которого . Для расчета минимального прицельного расстояния OB, при котором метеорит не упадет на поверхность Луны, используют законы сохранения механической энергии и момента импульса.Выберите из предложенных вариантов верную запись этих законов. Радиус R и массу M планеты Луна, гравитационную постоянную G ,скорость метеорита вблизи поверхности Луны считать известными.

Р ешение: Метеорит массой m должен двигаться по гиперболической орбите,касающейся поверхности Луны в точке C. При движении по этой траектории выполняется закон сохранения механической энергии: -скорость метеорита вблизи Луны. Действительно, метеорит приближается к Луне под действием силы тяготения.работа этой силы является мерой увеличения кинетической энергии метеорита и одновременно мерой уменьшения его потенциальной энергии от 0 в точке А до в точке С. Луна из-за большой массы в процессе взаимодействия будет оставаться в покое, а вследствие равенства нулю момента силы притяжения относительно центра Луны момент импульса метеорита относительно центра Луны будет сохраняться. Итак, для расчета мимнимального прицельного расстояния используется сситема уравнений , m .

№11 Диск в одном случае скатывается без проскальзывания с наклонной плоскости высотой , а в другом случае соскальзывает с нее. Если трением можно пренебречь, то отношение скоростей диска  у основания наклонной плоскости будет равно …

Решение: В рассматриваемой системе «тело – Земля» действуют только консервативные силы, поэтому в ней выполняется закон сохранения механической энергии, применяя который можно найти искомую скорость диска в обоих случаях:

 и . С учетом того, что момент инерции диска относительно оси вращения  и , получаем из первого уравнения , а из второго уравнения – . Тогда искомое отношение равно .