3.4. Определение оптимального объема выпуска продукции

В условиях рыночных отношений предприятия уделяют большое внимание вопросам определения оптимального объема выпуска продукции. В учебном пособии рассматривается возможность определения оптимально­го объема выпуска продукции на основе равенства предельного дохода пре­дельным издержкам.

В предлагаемой модели определение оптимального объема выпуска продукции основано на том, что такие финансово-экономические показатели, как объем производства продукции, цена продукта и издержки (затраты на производство) находятся в определенной функциональной зависимости:

R = PQ - С, (3.4.1)

где R - прибыль от реализации; Р - цена единицы продукта; Q - объем производства продукции; PQ - выручка от реализации продукции; С- из­держки производства.

Тогда стремление получить максимум прибыли может быть представ­лено в формальном виде следующей функцией:

R^PQ-C^> max. (3.4.2)

Функция R имеет максимум в той точке, в которой производная равна 0. Исходя из определения максимума, имеем:

d(PQ)fdQ -dC/dQ = 0. (3.4.3)

В результате получаем равенство

d(PQ)!dQ = dC/dQ, (3.4.4)

где d(PQ)/dQ - предельный доход; dC/dQ - предельные издержки

На основании выше изложенного для максимизации прибыли необ­ходимо равенство предельных доходов предельным издержкам.

Рассмотрим определение оптимального объема выпуска продукции на примере предприятия ОАО «Энергия» (табл. 3.4.1).

Анализ зависимости между ценой товара и его объемом производства в динамике позволяет выбрать для функции спроса Р = /(<Q) линейную за­висимость

P = a_]+a₀Q. (3.4.5)

Для вычисления значений коэффициентов а₀, а_} функции спроса

(3.4.5) можно воспользоваться функцией линейной регрессии ЛИНЕЙНО

табличного процессора MS Excel, имеющей следующий синтаксис:

=ЛИНЕИН(извест_знач_у; извест_знач_х; конст.; статистика)

В нашем случае эта функция будет иметь следующий вид:

=Л ИНЕЙН(В4: F4; ВЗ: F3). (3.4.6)

Перед вводом с клавиатуры этой функции следует выделить диапазон

ячеек, в которых будут размещаться полученные значения коэффициентов

а₀ и а_ь Порядок действий следующий:

1. Выделить диапазон ячеек G4:H4.

2. Ввести формулу =ЛИНЕЙН(В4:Р4;ВЗ:РЗ).

3. Нажать CTRL+SHIFT+ENTER.

4. Исходные данные для определения оптимального объема

   В ячейках G4 и Н4 будет получен результат.

Таблица 3.4.1

	А	В	С	D	Е	F	G	Н
	Показатели года	2005	2006	2007	2008	2009
3	Производст­во продук­ции, ед. (Q)	149	147	142	142	144
4	Цена едини­цы продук­ции, тыс.р. (Р)	1638,64	1752,41	1750,00	1750,00	1750,00	-11917	3453921
5	Затраты по полной себе­стоимости, тыс.р. (С)	204700	218600	216800	216700	216500	-1194	387599
6	Выручка от реализации, тыс.р. (PQ)	244157,2	257604,3	248500	248500	252000
7	Прибыль, тыс.р. (R)	39457,21	39004,27	31700	31800	35500

Анализ зависимости между издержками и объемом выпускаемой про­дукции в динамике позволяет для функции издержек выбрать также линей­ную форму связи вида:

C = Aj +b₀Q. (3.4.7)

Для вычисления значений коэффициентов функции издержек

(3.4.7) нужно выполнить следующие действия:

1. Выделить диапазон ячеек G5:H5.

2. Ввести формулу =ЛИНЕЙН(В5:Р5;ВЗ:РЗ).

3. Нажать CTRL+SHIFT+ENTER.

4. В ячейках G5 и Н5 будет получен результат.

Для вычисления оптимального объема выпуска продукции, восполь­зуемся уже определенными функциями спроса и издержек (3.4.5) и (3.4.7), а также равенством предельного дохода предельным издержкам (3.4.4).

Подставим в функции спроса и издержек найденные значения коэф­фициентов а₀, расположенные соответственно в ячейках G4, Н4, G5, Н5. В результате выполнения, приведенных ниже математических преоб­разований, получим формулу определения оптимального объема производст­ва продукции (3.4.10).

d{a_xQ + a₀Q²) d{b_x+b₀Q) dQ dQ

2 a₀Q + _a]=b₀₉ (3.4.9)

0 = (3.4.10)

2 a₀

Заменив в формуле (3.4.10) для вычисления величины оптимального объема выпуска продукции (Q), обозначения коэффициентов на адреса яче­ек, в которых получены значения этих коэффициентов, введем в ячейку С15 формулу вида:

= (G5 - Н4) / (2 * G4). (3.4.11)

В результате в ячейке С15 получим оптимальный объем выпуска про­дукции, равный 195 шт. Теперь можно определить цену продукта, выручку, прибыль и издержки производства для полученного оптимального объема. Результаты этих вычислений, а также их отклонения от фактических данных за 2009 г. приведены в табл. 3.4.2.

	А	В	С	D
	Показатели года	Фактические данные за 2009 г.	Оптимальные результаты	Отклонения
15	Производство продук­ции, ед.	144	195	51
16	Цена единицы продук­ции, тыс. р.	1750,00	1 129,20	-621,20
17	Затраты по полной себе­стоимости, тыс. р.	216 500,00	154 690,98	-61 809,02
18	Выручка от реализации, тыс. р.	252 000,00	220 323,01	31 6767,99
19	Прибыль, тыс. р.	35 500,00	65 632,03	30 132,03

Примечание:

Адрес ячейки	Содержание ячейки
В15	=F3
В16	=F4
В17	-F5
В18	-F6
В19	-F7
С15	=(G5-H4)/(2*G4)
С16	=H4+G4*C15
С17	=H5+G5*C15
С18	=C15*C16
С19	C18-C17
D15	=C15-B15
D16	=C16-B16
D17	=C17-B17
D18	=C18-B18
D19	=C19-B19

Другим способом вычисления коэффициентов a₀,a^b₀,b_x является использование метода наименьших квадратов. В этом случае ввод значения оптимального объема в ячейку С15 производится вручную. Рассмотрим при­менение этого метода.

Для определения значений коэффициентов а₀, а! составляется система двух нормальных уравнений с двумя неизвестными:

/ /

(ЗА12)

После решения этой системы с использованием данных табл. 3.4.1 по­лучим значения коэффициентов для эмпирической функции спроса, которая примет следующий вид:

Р = 3453921-11917,8922 - (3.4.13)

Для нахождения коэффициентов b₀,bj необходимо решить с помощью методов наименьших квадратов следующую систему:

/ /

^oia^leNlac,, (3-4.15)

I i i

Решая эту систему и используя данные табл. 3.4.1, получим следую­щую эмпирическую функцию издержек:

С = 387599 - 1194,3299*Q. (3.4.16)

Значения коэффициентов a_Q,a_{,b₀,b_x вычисленные как первым, так и

вторым способом практически совпадают.

На основе данных, полученных в табл. 3.4.2, можно сделать следую­щие выводы. У предприятия есть возможность увеличить прибыль на 30 132,03 тыс. р. за счет увеличения выпуска продукции на 51 штуку. При этом затраты уменьшатся на 61 809 тыс. р., цена - на 620,2 тыс. р. Таким образом, стратегия производства продукции должна быть направлена на увеличение объема производства с одновременной реализацией стратегии снижения издержек как составляющих финансово-экономической стратегии предприятия.