2 .Метод Жордана-Гаусса

Метод Жордана-Гаусса або метод повного виключення полягає в одночасному виключенні якоїсь із змінних з усіх рівнянь, крім одного.

Алгоритм:

1-крок. Вибираємо ведучий елемент (перестановкою рівнянь можна добитися того, що буде найбільшим за модулем коефіцієнтом при ). Поділимо перше рівняння системи на

						(**)
0			…
			…
	…	…	…	…	…
			…
1	1		…
			…
	…	…	…	…	…
	0		…
…	…	…	…	…	…	…
n	1	0	…	0
	0	1	…	0
	…	…	…	…	…
	0	0	…	1

В усіх інших рівняннях виключаємо , тобто система зводиться до I-кроку,

де ; (*),

останній стовпчик обчислюється двічі: 1 раз - за формулою (*);

2-ий - раз за формулою (**)

Якщо обчислення виконані правильно, то (*) = (**).

Результат записується з останнього -го кроку.

Позначимо вектор стовпчик наближеного розв’язку через . Назвемо нев’язкою різницю між наближеним значенням розв’язку та точним:

=

Тоді наближений розв’язок можемо записати як . Підставив його у задану систему, отримаємо нову систему з n лінійних неоднорідних рівнянь

, або . Зважаючи на те, що , матимемо

- Рівняння, з якого можемо знайти .

Воно відрізняється від щойно нами розв’язаного тільки стовпчиком вільних членів. То для його розв’язування можна скористатися тими же таблицями, що і для знаходження Х, тільки обчислювати заново останні два стовпчики

Застосування метода Жордана-Гаусса, якщо тільки ведучі елементи за модулем є істотно більші за інші, забезпечує малі нев'язки якщо задача добре обумовлена, то розв’язок буде стійким.

Приклад 2.

. За методом Жордана Гаусса розв’язати СЛАР. Визначити нев’язку.

Розв’язування оформимо у вигляді таблиці. Два останніх стовпчики на етапі знаходження розв’язку СЛАР не використовуємо (вони потрібні для визначення нев’язки).

Крок I.

1) Записуємо в стовпчики 3-7 ( = ) коефіцієнти системи ; на цьому кроці позначимо їх через ;

2) в стовпчик записуємо суми коефіцієнтів по кожному рядку;

3) знаходимо головний елемент (найбільший з коефіцієнтів в стовпчиках3-6)., їм буде . Підкреслимо його.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
крок
I	1	0,99	-2,01	-3,01	3,99	0,99	0,95
	2	4,99	5,99	6,99	-8,01	1,99	11,95
	3	7,99	6,99	5,99	-5,01	2,99	18,95
	4	3,99	-3,01	-2,01	0,99	3,99	3,95

Переходимо до наступних кроків (два останніх стовпчики залишилися незаповненими)

Крок IІ.

1) Елемент = . -ий рядок переписуємо без змін, в -му стовпчику на місці усіх інших елементів ставимо нулі. В інші стовпчики записуємо коефіцієнти системи (на цьому кроці позначимо їх через ) за формулою ;

2) в стовпчик записуємо суми коефіцієнтів по кожному рядку;

3) знаходимо головний елемент (найбільший з не підкреслених коефіцієнтів в стовпчиках 3-6): їм буде . Підкреслимо його.

II	1	3,475655	0,973783	0,47191	0	1,981273	6,902622
	2	4,99	5,99	6,99	-8,01	1,99	11,95
	3	4,868914	3,243446	1,617978	0	1,745318	11,47566
	4	4,606742	-2,26966	-1,14607	0	4,235955	5,426966

Крок IІІ.

1) Елемент = . -ий рядок переписуємо без змін, в -му стовпчику на місці усіх інших елементів ставимо нулі. В інші стовпчики записуємо коефіцієнти системи (на цьому кроці позначимо їх через ) за формулою ;

2) в стовпчик записуємо суми коефіцієнтів по кожному рядку;

3) знаходимо головний елемент (найбільший з не підкреслених коефіцієнтів в стовпчиках 3-6: їм буде . Підкреслимо його.

III	1	0	-1,34154	-0,68308	0	0,735385	-1,28923	-9,3E-16	-2,02462
	2	0	2,665892	5,331785	-8,01	0,201277	0,188954	1,46E-15	-0,01232
	3	4,868914	3,243446	1,617978	0	1,745318	11,47566	5,26E-16	9,730337
	4	0	-5,33846	-2,67692	0	2,584615	-5,43077	-3,8E-15	-8,01538

Крок IV.

Виконуємо аналогічні дії

IV	1	0	0	-0,01037	0	0,085879	0,075504	2,12E-17	-0,01037
	2	0	0	3,994997	-8,01	1,491968	-2,52303	-4,4E-16	-4,015
	3	4,868914	0	-0,00842	0	3,315632	8,176127	-1,8E-15	4,860495
	4	0	-5,33846	-2,67692	0	2,584615	-5,43077	-3,8E-15	-8,01538

Крок V.

Виконуємо аналогічні дії

V	1	0	0	-0,01037	0	0,085879	0,075504
	2	0	0	0	-8,01	34,56167	26,55167
	3	4,868914	0	0	0	3,245943	8,114856
	4	0	-5,33846	0	0	-19,5744	-24,9128

Таблиця останнього кроку відповідає системі рівнянь (що є еквівалентною до заданої): ……

або

………………………………………………………………………………….

Крок VІ.

Записуємо з останньої системи результат:

= 0,666667, = =3,666667, = =-8,277778 ,

= =-4,314814.

Використовуючи два останніх стовпчики таблиці (9-10), знаходимо

, , , .

Приклад 3.

Розв’язати СЛАР за методом Жордана-Гаусса.

Розв’язання:

					(**)
0	20,9	1,2	2,1	20	44,2
	1,2	21,2	1,5	19,2	43,1
	2,1	1,5	19,8	21,3	44,7
1	20,9	1,2	2,1	20	44,2 40,56 40,26
		21,13	1,38	18,05
	0	1,38	19,59	19,29
2	20,9	0	2,02	18,98	41,87 40,56 37,61
	0	21,13	1,38	18,05
	0	0	19,49	18,11
3	20,9 0 0	0 21,13 0	0 0 19,49	17,10 16,76 18,11	37,97 37,9 37,61

Для зразка обчислень: ,

З останнього 3-го кроку знаходимо наближений розв’язок

; ;

Підставимо знайдені значення у рівняння і отримаємо стовпчик вільних членів

(20,039; 19,127; 21,321)^Т , тоді – В = (0,039; -0,073; 0,021)^Т

Розв’яжемо тепер систему з невідомими

.

Можемо використовувати ті ж таблиці, змінивши (обчислюючи заново) 2 останніх стовпчики

					(**)
0	20,9	1,2	2,1	0,04	24,24
	1,2	21,2	1,5	-0,07	23,83
	2,1	1,5	19,8	0,02	23,42
1	20,9	1,2	2,1	0,04	24,24 23,44 20,98
		21,13	1,38	-0,07
	0	1,38	19,59	0,02
2	20,9	0	2,02	0,04	22,97 24,44 19,51
	0	21,13	1,38	-0,07
	0	0	19,49	0,02
3	20,9 0 0	0 21,13 0	0 0 19,49	0,04 -0,07 0,02	20,94 21,06 19,51

; ;

Висновок: нев’язка менша можливої точності, отже ; ;