210312.65 "Аудиовизуальная техника", «Телекоммуникации», 210300.62
«Защищенные системы связи», Бакалавр техники и технологии очной и заочной форм обучения. Варианты для выполнения заданий назначаются преподавателем и, как правило, совпадают с порядковым номером студента в журнале академической группы.
Выполнение домашних заданий производится в отдельной тетради или на скрепленных тетрадных листах, которые сдаются на проверку преподавателю, ведущему занятие. Числовые значения подставляются в формулу и только после этого записывается получившийся результат в системе единиц СИ.
1. Анализ линейных электрических цепей при гармоническом воздействии
Основные расчетные соотношения
Для определения токов и напряжений в электрической цепи по заданным параметрам источников и элементов составляется и решается система уравнений электрического равновесия. Эта система состоит из топологических и компонентных уравнений. Топологические – это уравнения, составленные по законам Кирхгофа для токов (первый закон Кирхгофа) для каждого из независимых узлов или сечений (уравнение баланса токов):
. (1.1)
и напряжений (второй закон Кирхгофа) для каждого из независимых контуров (уравнение баланса напряжений):
. (1.2)
Здесь
in(t)
– ток n-й,
ветви, взятый с минусом (
=-1),
если он втекает в узел, и с плюсом – если
вытекает(
=1).
Это справедливо и для ветвей с источниками
тока. В этом случае они входят со знаком
плюс в правую часть уравнений, если ток
источника втекает в узел.
В
ЗКН uk(t)
– напряжение на k-й
ветви, взятое с плюсом, если совпадают
выбранные направления тока в ветви и
обхода контура (
=1),
в который эта ветвь входит. В противном
случае uk(t)
отрицательно, (
=-1).
Для ветвей с источниками напряжения,
напряжение источника входит в напряжение
ветви со знаком минус, если стрелка
внутри источника совпадает с условно
выбранным направлением напряжения
ветви, в противном случае – со знаком
плюс. В этом случае источник ЭДС входит
в правую часть уравнения со знаком плюс,
если стрелка внутри источника и
направление обхода контура (контурного
тока) совпадают. Что касается источников
тока, то напряжение ветви на каждом из
них можно выбирать произвольно. На
идеальном источнике тока напряжение
на нем находится на основании решения
полной системы уравнений для данной
цепи.
В топологии доказывается, что в электрической цепи, состоящей из q узлов и p ветвей независимых узлов Kну:
Kну = q-1-NE, (1.3)
а независимых контуров Kнк:
Kнк = p-q+1- NJ . (1.4),
Где: NE- число идеальных источников напряжения, которые не могут быть преобразованы в эквивалентные источники тока, NJ - число идеальных источников тока, которые не могут быть преобразованы в эквивалентные источники напряжения.
Это означает, что для не имеющей особенности цепи количество независимых уравнений, которое может быть составлено по первому закону Кирхгофа для токов равно q-1 , а по второму закону Кирхгофа для напряжений p-q+1.
Компонентные уравнения связывают токи и напряжения на идеальных пассивных элементах. Количество этих уравнений p-pит-pин, где pит и pин – количество ветвей с идеальными источниками тока и напряжения соответственно. Эти уравнения имеют следующий вид для сопротивления, емкости и индуктивности:
iR
=
uR/R; 
; 
. (1.5)
Для цепи, находящейся
под гармоническим воздействием,
составляется комплексная эквивалентная
схема замещения, в которой мгновенные
токи и напряжения представляются их
комплексными амплитудами (
и
соответственно):
,
, (1.6)
а пассивные элементы цепи – комплексными сопротивлениями в соответствии с соотношениями:
, 
; 
. (1.7)
Связь между токами и напряжениями в них при этом определяется законом Ома в комплексной форме
, (1.8)
а законы Кирхгофа для токов и напряжений приобретают вид:
, 
. (1.9)
Таким образом, система уравнений электрического равновесия становится алгебраической, но комплексной.
Что касается мощностей, то комплексная мощность, потребляемая цепью определяется в виде:
(1.10)
где
-
комплексная мощность,
– активная мощность, характеризующая
преобразование в цепи электрической в
другие виды энергии,
–
реактивная
мощность, характеризует процессы обмена
энергией между цепью и источником,
– полная мощность, потребляемая от
источника,
-
комплексное сопротивление участка цепи
в последовательной схеме замещения,
,
-
комплексные действующие значения
напряжения и тока в данной ветви,
-
комплексно сопряженное значение тока
ветви.
Метод контурных токов (МКТ) основан на том, что токи всех ветвей могут быть выражены через контурные токи. Каждый контурный ток проходит только по элементам своего контура. Количество контурных токов определяется количеством независимых контуров цепи (1.4). При наличии в цепи ветвей с идеальными источниками тока уравнения для контуров в которые они входят не составляются, поскольку их контурные токи равны токам этих источников.
Уравнения МКТ в канонические форме записываются в виде:
. (1.11)
В матричной форме:
Z*I=E;
Решение относительно контурных токов находится с использованием обратной матрицы Z-1:
I = Z-1*E
Здесь
– собственное
сопротивление n-го
контура (всегда положительно), элементы
–
взаимные сопротивления n-го
и k-го
контуров, взятые со знаком плюс при
совпадении по направлению контурных
токов в них. Контурная э.д.с.
– алгебраическая сумма э.д.с. источников,
входящих в контур (при совпадении с
направлением контурного тока э.д.с.
источника берется со знаком плюс).
В методе узловых потенциалов (МУП) напряжения всех ветвей выражаются через разность потенциалов узлов, между которыми они включены. Количество узловых потенциалов определяется количеством независимых узлов цепи (1.3). При наличии в цепи ветвей с идеальными источниками напряжения уравнения для узлов к которым они подключены не составляются, поскольку их потенциалы равны напряжениям этих источников при подключении последних между данным узлом и базисным).
Уравнения МУП в канонические форме записываются в виде:
(1.12)
В матричной форме:
Y*U=J;
Решение относительно узловых напряжений находится с использованием обратной матрицы Y-1:
U = Y-1*J
Здесь
– собственная
проводимость n-го
узла (всегда положительна) сумма
проводимостей ветвей подключенных к
узлу, элементы
–
взаимная проводимость n-го
и k-го
узлов – сумма проводимостей ветвей,
соединяющих эти узлы взятая со знаком
минус.
-алгебраическая сумма токов источников,
подключенных к n-му
узлу (втекающие с плюсом).
Метод
наложения
используется
для нахождения
тока или напряжения в одной из ветвей,
если в линейной цепи несколько независимых
источников энергии. Искомый ток
или напряжение
представляют
суммой частичных токов
и соответственно
напряжений
,
каждый из которых найден из эквивалентной
схемы, полученной последовательным
выключением всех (кроме одного) независимых
источников:
. (1.13)
При выключении источников э.д.с. они закорачиваются, а источники тока – разрываются.
В методе эквивалентного генератора находится ток в одной из ветвей цепи. При этом, данная ветвь разрывается, а оставшаяся часть цепи представляется автономным двухполюсником – эквивалентным источником напряжения или тока. Параметрами эквивалентного источника напряжения являются напряжение и сопротивление холостого хода автономного двухполюсника. Параметрами эквивалентного источника тока являются ток короткого замыкания автономного двухполюсника и его входная проводимость. После этого, например в методе эквивалентного источника напряжения, ток ветви находится в соответствие с соотношением
, (1.14)
где
– напряжение холостого хода источника,
– его сопротивление,
– сопротивление нагрузки источника
(ветви, в которой определяется величина
протекающего тока).
Примеры решения задач основными методами расчета
Рассмотрим пример расчета напряжения на нагрузке по методу эквивалентного генератора с использованием последовательной схемы замещения.
Задана эквивалентная схема цепи:
Рис. 1. Эквивалентная схема цепи.
Заданы значения параметров цепи:
E1m =10 В - Комплексная амплитуда ЭДС источника напряжения;
R1=R2= 10 Ом;
C1=C2= 2000 мкФ;
L1=50 мГн;
=
100 рад/сек
R3 = 3 Ом.
Рассчитать мгновенные значения напряжения на R3 методом эквивалентного генератора в установившемся режиме гармонических колебаний.
Решение:
ЭДС эквивалентного генератора Ee будем определять методом эквивалентных преобразований. Заменим источник ЭДС E1 эквивалентным источником тока: J = E1/R1 = 1 A. Учтем, что при параллельном соединении сопротивлений складываются проводимости, следовательно, при параллельном включении R1 и R2 их общее сопротивление будет равно
R’ =R1/2=5 Ом. Преобразуем источник тока в эквивалентный источник ЭДС:
E’=J*R’=5 В. Для определения комплексной амплитуды тока в емкости C2 учтем, что при последовательном соединении емкостей C1 и C2 их эквивалентная емкость равна C’ =C1/2; Xc’=1/( *C’) = 10 Ом. Xc2= 5 Ом.
Ток через емкость C2 будет равен I’= E’/(R’-i*Xc’)= 5/(5-i10) = 1/(1-i2); ЭДС эквивалентного генератора равна для этой цепи напряжению на емкости C2 при отключенном сопротивлении R3:
Ee = (-i*Xc2)* I’= (-i5)/(1-i2). Определив внутреннее сопротивление
Эквивалентного генератора Ze можно рассчитать комплексную амплитуду
Напряжения на R3:
UR3 =R3*Ee/(Ze +R3);
Здесь все расчеты выполняются в командной области пакета MATLAB:
>> ZL1=i*5
ZL1 =
0 + 5.0000i
>> Yc2=i*0.2
Yc2 =
0 + 0.2000i
>> Zc1=-i*5
Zc1 =
0 - 5.0000i
>> R=5
R =
5
>> Ze=ZL1+1/(Yc2+1/(Zc1+R))
Ze =
1.0000 + 2.0000i
>> UR3=1.5*(2-i)/(2+i)
UR3 =
0.9000 - 1.2000i
>> abs(UR3)
ans =
1.5000
>> 57*angle(UR3)
ans =
-52.8558
Используя оператор нахождения вещественной части от текущего комплекса можно сразу определить гармоническую функцию напряжения на нагрузке R3:
UR3(t)=Re{1.5*EXP(-i*52.85580)*EXP(i*100*t)}=1.5cos(100t - 52.85580).
Таким образом поставленная задача решена полностью.
Определение числа независимых уравнений по методу контурных токов и узловых напряжений.
Составим ненаправленный граф цепи.
Рис 2. Ненаправленный граф цепи
Если в ненаправленном графе цепи (Рис 2) убрать перечеркнутые ветви, то мы получим дерево графа. По определению: дерево есть связный подграф, в котором сохраняются все узлы и нет ни одного замкнутого контура. Число отброшенных ветвей при переходе от графа цепи к дереву определяет число независимых уравнений по методу контурных токов (МКТ). Число ветвей дерева графа определяет число независимых уравнений по методу узловых потенциалов (МУП). Для этой задачи надо составить 3 уравнения по методу контурных токов и 2 – по методу узловых потенциалов.
. Метод контурных токов.
Решим задачу для эквивалентной схемы цепи рис.1, выбрав 3 независимых контура: 1контур– E1,R1,R2;
2 контур –R2,C1,C2; 3 контур – C2,L1,R3. Направление обхода контуров по часовой стрелке.
Рассчитаем элементы матрицы Z:
Z11 = R1+R2
Z12 =Z21 = -R2
Z13 = Z31 =0
Z22 = R2 -i*Xc1-i*Xc2
Z23 = Z32 = i*Xc2
Z33 = -i*Xc2 + i*XL1 +R3
Здесь все расчеты выполняются в командной области пакета MATLAB:
>> R2= 10
R2 =
10
>> C1= 0.002
C1 =
0.0020
>> C2= 0.002
C2 =
0.0020
>> L1=0.05
L1 =
0.0500
>> omega=100
omega =
100
>> Xc1=1/(omega*C1)
Xc1 =
5
>> Xc2=Xc1
Xc2 =
5
>> XL1=omega*L1
XL1 =
5
>> R1=R2
R1 =
10
>> Z11 = R1+R2
Z11 =
20
>> Z12 =-R2
Z12 =
-10
>> Z21 = -R2
Z21 =
-10
>> Z13 =0
Z13 =
0
>> Z31 =0
Z31 =
0
>> Z22 = R2 -i*Xc1-i*Xc2
Z22 =
10.0000 -10.0000i
>> Z23 = i*Xc2
Z23 =
0 + 5.0000i
>> Z32 = i*Xc2
Z32 =
0 + 5.0000i
>> R3=3
R3 =
3
>> Z33 = -i*Xc2 + i*XL1 +R3
Z33 =
3
>> Z =[Z11 Z12 Z13; Z21 Z22 Z23; Z31 Z32 Z33] % Ввод матрицы Z;
Z =
20.0000 -10.0000 0
-10.0000 10.0000 -10.0000i 0 + 5.0000i
0 0 + 5.0000i 3.0000
>> X = inv(Z) % Вычисление обратной матрицы Z-1
X =
0.0620 + 0.0090i 0.0240 + 0.0180i 0.0300 - 0.0400i
0.0240 + 0.0180i 0.0480 + 0.0360i 0.0600 - 0.0800i
0.0300 - 0.0400i 0.0600 - 0.0800i 0.2000 - 0.1000i
>> E=[10 0 0] % Ввод матрицы ЭДС в выбранных контурах;
E =
10 0 0
B = E' % Вычисление транспонированной матрицы ET;
B =
10
0
0
>> I=X*B % Решение системы линейных уравнений относительно контурных токов;
I =
0.6200 + 0.0900i
0.2400 + 0.1800i
0.3000 - 0.4000i
> UR3=R3*( 0.3000 - 0.4000i)
UR3 =
0.9000 - 1.2000i
Получен тот же результат, что и методом эквивалентного генератора.
>> abs(UR3)
ans =
1.5000
>> 57*angle(UR3)
ans =
-52.8558
Используя оператор нахождения вещественной части от текущего комплекса можно сразу определить гармоническую функцию напряжения на нагрузке R3:
UR3(t)=Re{1.5*EXP(-i*52.85580)*EXP(i*100*t)}=
=1.5cos(100t - 52.85580).
Таким образом поставленная задача решена полностью.
Повторив этот пример, можно аналогичным образом решать другие подобные задачи.
Решим задачу методом узловых напряжений. Обозначим узлы: 0- общая точка ветвей-E1,R2,C1,R3; 1-общая точка ветвей -R1,R2,C1; 2- общая точка ветвей -C1,C2,L1;
Узел «0» будем считать общим. Его потенциал примем равным нулю. Напряжения во всех остальных узлах будем отсчитывать относительно этого узла. Преобразуем источник напряжения в эквивалентный источник тока, как это требует метод расчета:
J1=E1/R1;
Получим эквивалентную схему:
Рис 3. Эквивалентная схема для расчета цепи методом узловых потенциалов.
Решим систему уравнений (1.12) в матричной форме, используя Matchad :
Получен тот же результат для напряжения на R3, который был получен другими способами.
Контрольная работа №1