Свойства z-преобразования

Свойства Z-преобразования и преобразования Фурье и Лапласа сходны между собой [1, 1 146].

Линейность

Это свойство можно сформулировать так:

Взвешенной сумме дискретных последовательностей соответствует взвешенная сумма Z-преобразований этих последовательностей.

Вместо того чтобы для отсчетов сигнала записывать прямое Z-преобразование (15) и по известному Z-преобразованию последовательности (20) восстанавливать отсчеты исходной последовательности будем ставить знак соответствия между отсчетами последовательности и ее Z- преобразование:

(38)

Задержка

Задержка последовательности на k₀ тактов соответствует умножение Z-преобразование исходной последовательности на , то есть

(39)

Свертка

Дискретной свертке двух последовательностей соответствует перемножение их Z-преобразований:

или

(40)

Для инвариантной к сдвигу линейной дискретной системы выходная последовательность определяется дискретной сверткой входной последовательности и дискретной импульсной характеристики: (11):

Здесь нижний предел суммирования для общности взят равным - ∞.

Пусть

На основании свойства дискретной свертки можно записать:

(41)

где

Здесь входная последовательность представлена N отсчетами.

Для дискретной линейной системы, инвариантной к сдвигу, входная x_(n) и выходная y_(n) последовательности связаны разностным уравнением:

(42)

Иначе это можно записать в виде равенства:

(43)

Если от (42) найти Z-преобразование, то получим равенство:

(44)

с учетом (41)

(45)

Таким образом Z-преобразование дискретной импульсной характеристики ЛДС представляет отношение полиномов относительной переменной Z^-1, коэффициенты которых совпадают с коэффициентами разностного уравнения.

(46)

Если в разностном уравнении (43) положить коэффициент b₀ равным 1, то разностному уравнению:

(47)

Будет соответствовать Z-преобразование функции передачи линейной дискретной системы:

(48)

Структурная схема лдс

На основании свойств линейности и задержки во времени для Z-преобразования можно составить несколько разновидностей структурных схем ЛДС. В уравнении (47) задержке на один такт соответствует умножение Z-преобразования на Z^-1:

(49)

Таким образом Z-преобразование разностного уравнения (47) будет иметь вид:

(50)

В соответствии с (47) и (50) можно получить следующие структурные схемы ЛДС:

В торая структурная схема может быть получена из структурной схемы (рисунок 1) на основании свойства линейности, если поменять местами нерекурсивную и рекурсивную часть:

y₁ (n)

Рисунок 2 – Структурная схема ЛДС

Убедимся, что структурные схемы (рисунок 1) и (рисунок 2) эквивалентны. Для структурной схемы (рисунок 1) из (48) можно записать:

(51)

Для рекурсивной части структурной схемы (рисунок 2) справедливо равенство:

(52)

Следовательно:

(53)

Для нерекурсивной части имеет место равенство:

или (54)

Подставим (53) в (54), получим:

Получим равенство (51), следовательно эти схемы действительно эквивалентны.

Таким образом можно сформулировать общее правило для структурной схемы ЛДС:

Рекурсивная ветвь и нерекурсивная ветвь линейной дискретной системы коммутативны (перестановочны).

Исходя из этого можно получить другие разновидности структурных схем ЛДС [1]:

Каноническую реализацию (рисунок 2), транспонированную реализацию ЛДС, транспонированную реализацию, полученную из канонической, параллельную реализацию и т.д.