1. Ханзел г. Справочник по расчету Фильтров. / Пер. С англ. В.А.Старостина под ред.А.Е. Знаменского . М.: Сов. Радио. 1974

2.Р.Зааль Справочник по расчету Фильтров. / Пер. с нем. 1983

3. М.Р. Шебес, М.В. Каблукова Задачник по линейной теории цепей:

Учебное пособие. 4-е изд. перераб. и доп. – М.: Высш. шк. 1990.-544с.

Самостоятельная работа №6

3. Дискретные цепи

3.1. Основные расчетные соотношения

При анализе дискретных цепей и систем, в том числе цифровых фильтров используются понятия и определения, близкие к понятиям непрерывных систем. Однако между ними имеются существенные отличия.

В литературе [11] дискретные цепи представляются в виде суммы произведений отсчетов сигнала на дельта-функции Дирака, сдвинутые во времени.

Определим несколько иначе дискретный сигнал.

Вначале введем понятие единичного импульса.

Единичным импульсом назовем функцию вида:

(1)

В этом случае

(2)

Пусть имеются отсчеты сигналов в дискретные моменты времени, взятые через интервал дискретизации :

Тогда дискретный сигнал может быть представлен в виде суммы значений:

То есть:

(3)

Если последовательность задана на бесконечном интервале времени, то

(4)

Таким образом, если известны отсчеты дискретной последовательности то эта последовательность на бесконечном интервале может быть представлена в виде суммы:

(5)

Линейная дискретная система определяется системным оператором, преобразующим входную последовательность в выходную последовательность :

y_{(n) =} T[x_(n)] (6)

Системный оператор T[·] определяет алгоритм, программу преобразования, то есть по сути это алгоритм цифровой обработки дискретного сигнала.

Для линейной дискретной системы справедлив принцип суперпозиции, то есть системный оператор от взвешенной суммы последовательностей равен взвешенной сумме системных операторов от этих последовательностей:

T[ax₁(n)+bx₂(n)] = aT[x₁(n)] + bT[x₂(n)] (7)

Это свойство (7) совместно с (5) предполагает, что ЛДС может быть полностью охарактеризована откликом на единичный импульс, т.е. дискретной импульсной характеристикой .

Пусть - отклик ЛДС (выходная последовательность) на единичный импульс .

Тогда

T[ ] = (8)

(9)

Для инвариантной к сдвигу ЛДС

h_k(n) = h (n-k) (10)

Это следует из определения инвариантной к сдвигу линейной дискретной системы:

Если y (n) – это отклик на x (n),

то y (n-k) – отклик на x (n-k).

То есть это определяет свойство инвариантной ЛДС к запаздыванию во времени.

Для инвариантной к сдвигу ЛДС можно записать:

(11)

Таким образом (11) определяет свертку во временной области дискретной импульсной характеристики и входной последовательности. Равенство (11) для выходной последовательности y(n) эквивалентно интегралу Дюамеля для непрерывных линейных цепей.

Для линейной дискретной системы, инвариантный к сдвигу, справедливо равенство:

(12)

Определение устойчивости ЛДС

ЛДС называется устойчивой, если каждый ограниченный входной сигнал создает ограниченный выходной сигнал.

Таким образом ЛДС будет устойчивой, если ограничена бесконечная сумма:

(13)

Линейная дискретная система устойчива, если дискретная импульсная характеристика абсолютно суммируется.

Z - преобразование

Для непрерывного (аналогового) сигнала существует преобразование Лапласа:

x(t) X(p)

(14)

где: р= комплексная переменная на Р - плоскости

Г – контур интегрирования на комплексной плоскости, внутри которого находятся все особые точки функции Х(р).

аналогично вводятся

Z – преобразования дискретного сигнала.

Пусть задана числовая последовательность:

, которой можно сопоставить одномерное Z –преобразование:

(15)

где Z = u+jV - комплексная переменная на z – плоскости.

Рассмотрим пример:

Пусть задана числовая последовательность

(16)

для нее Z – преобразование будет иметь вид

X(z) = 1+2Z^-1+3Z^-2+4Z^-3+5Z^-4 (17)

Справедливо и обратное, равенству (17) будет соответствовать числовая последовательность

{1, 2, 3, 4, 5}

Пусть задан оператор отображения Р – плоскости на Z – плоскость.

1. Согласованное Z - преобразование

Пусть выполняется равенство:

Z = (18)

здесь Tg – интервал дискретизации.

Следовательно:

(19)

В этом случае обратному преобразованию Лапласа (14) будет соответствовать обратное Z – преобразование:

(20)

Здесь с – контур интегрирования на комплексной плоскости Z, содержащий особые точки функции X(z).