3.4.Оптимальность по Парето

Итак, каждое решение имеет две характеристики – средний ожидаемый доход и средний ожидаемый риск, следовательно, имеем оптимизационную двухкритериальную задачу по выбору наилучшего решения.

Рассмотрим такую задачу в общем виде. Пусть А – некоторое множество операций, каждая операция а имеет две числовые характеристики Е(а), r(a) (эффективность и риск, например) и разные операции обязательно различаются хотя бы одной характеристикой. При выборе наилучшей операции желательно, чтобы Е было больше, а r меньше.

Будем говорить, что операция а доминирует операцию b, и обозначать a > b, если Е(а) > Е(b) и r(a) < r(b) и хотя бы одно из этих неравенств строгое. При этом операция a называется доминирующей, а операция b – доминируемой. Ясно, что ни при каком разумном выборе наилучшей операции доминируемая операция не может быть признана таковой. Следовательно, наилучшую операцию надо искать среди недоминируемых операций. Множество этих операций называется множеством Парето или множеством оптимальности по Парето.

Имеет место чрезвычайно важное утверждение.

Утверждение. На множестве Парето каждая из характеристик Е, r – (однозначная) функция другой. Другими словами, если операция принадлежит множеству Парето, то по одной её характеристике можно однозначно определить другую.

Рис. 7

Если точки, обозначающие операции, расположены на плоскости

риск R / эффективность Q, как показано на рис.7, то множество оптимальности по Парето состоит из операции 3.

В условиях полной неопределенности часто применяется правило Лапласа равновозможности: при этом все неизвестные вероятности p_j считают равными. После этого выбирается какое-нибудь из двух приведенных выше правил – рекомендаций принятия решений, т.е. правило максимизации среднего ожидаемого дохода или правило минимизации среднего ожидаемого риска.

Тема 4. Риск и доходность. Портфельная теория

4.1. Анализ общего риска: активы, рассматриваемые изолированно

Ни отдельный человек, действующий в своих собственных интересах, ни менеджер, действующий от лица акционеров фирмы, не должны принимать решения об инвестировании финансовых средств, руководствуясь только ожидаемой доходностью. Тот, кто принимает решения, должен сначала оценить рисковость инвестиций и определить, является ли уровень доходности достаточным для компенсации ожидаемого риска.

Общий риск – это риск, относящийся к конкретному финансовому активу, рассматриваемому изолированно, и измеряемый дисперсией возможных исходов относительно ожидаемой доходности этого актива.

Пример. Фирма решила инвестировать 100 тыс.дол. сроком на 1 год.. Возможны следующие варианты инвестиций:

1) Казначейские векселя со сроком погашения 1 год и ставкой дохода 8%, которые могут быть приобретены с дисконтом.

2) Проект капиталовложений 1, чистая стоимость которого 100 тыс.дол. Денежный поток в течение года равен нулю. Все выплаты осуществляются в конце года.

3) Альтернативный проект капиталовложений 2.

Предполагаемые варианты развития событий сведены в таблицу 3

Таблица 3

Состояние экономики	Вероятность	Доходность по казн.векс., %	Доходность по Проекту 1, %	Доходность по Проекту 2, %
Глубокий спад	0,05	8,0	-3,0	-2,0
Незначит.спад	0,20	8,0	6,0	9,0
Стагнация	0,50	8,0	11,0	12,0
Незначит.подъем	0,20	8,0	14,0	15,0
Сильный подъем	0,05	8,0	19,0	26,0
Ожидаемая доходность, %		8,0	10,3	12,0
Дисперсия		0	19,31	23,20
Ср.-квадратич .отклонение, %		0	4,39	4,82
Коэффициент вариации		0	0,43	0,40

Чтобы сделать вывод о том, какой из трех альтернативных проектов принять, необходимо учесть численные значения ожидаемой доходности, асимметрию распределения, достоверность оценок распределения вероятностей, численное значение дисперсии, а также величину коэффициента вариации, показывающего риск на единицу ожидаемой доходности.