§ 3.2. Определение вектора скорости произвольной точки плоской фигуры

1. Теорема о геометрическом сложении векторов скоростей.

3.4. Скорость любой точки в плоской фигуры геометрически складывается из скорости произвольно выбранного полюса а и скорости, которую точка в получает при вращении фигуры вокруг этого полюса

( 3.7)

Доказательство. Рассмотрим плоскопараллельное движение твердого тела и на фигуре Ф выберем две точки - полюс и произвольную точку (рис. 3.5).

Движение точек в системе координат определим векторным способом, задав векторы . Положение точки по отношению к точке в осях определим радиус вектором . Тогда . Продифференцируем последнее равенство по времени и с учетом (1.13) получим:

.

Здесь , - векторы скорости точек соответственно.

Рассмотрим второе слагаемое в правой части – вектор . Как может изменяться с течением вектор ? Модуль вектора , так как расстояние между двумя точками твердого тела не меняется. Переменность вектора проявляется только в переменности его направления. Этот вектор в процессе движения может поворачиваться вместе с фигурой Ф относительно полюса , как показано на рис.3.6., 3.7 Следовательно, - это вектор скорости, приобретенной точкой от вращения отрезка (фигуры Ф) вокруг полюса . Обозначая = , приходим к формуле (3.7). Что и требовалось доказать.

3.5. Вектор скорости направлен по касательной к окружности - траектории точки во вращательном движении отрезка в сторону вращения фигуры. перпендикулярен к радиусу траектории . Угловая скорость фигуры определяется по формулам (3.4).

, = , (3.8)

На рис.3.7 показаны направления вектора скорости при различных положениях вектора .

Рис. 3.7

Значение теоремы. 1. Эта теорема является основной теоремой для скоростей, позволяющей определять скорости отдельных точек тела при плоскопараллельном движении. Она не только раскрывает механизм образования скорости отдельной точки, но позволяет получить и другие методы вычисления скоростей точек плоской фигуры. 2. Равенство (3.7) позволяет найти любой из трех векторов , , по известным двум другим векторам. Например, непосредственно по формуле (3.7) вектор можно найти двумя способами: геометрическим построением (рис. 3.6.) и по известным проекциям векторов скоростей на выбранные оси координат (этот метод часто называют «методом проекций»). Рассмотрим их по отдельности.

1. Определение вектора скорости точки в с помощью геометрических построений

1.Пусть известна скорость полюса и известна угловая скорость фигуры . По (3.8) определяется величина и направление вектора . Он прикладывается в точке В и направляется в сторону вращения отрезка (фигуры Ф). Мысленно из точки в точку параллельно самому себе переносится вектор скорости . На векторах и строится параллелограмм (рис.3.6), диагональ которого и определяет вектор скорости . Все построения делаются в выбранном масштабе, длины измеряются линейкой, углы - транспортиром. Искомый вектор будет определен с погрешностью, характерной для чертежных работ.

2. Если рисунок из векторов скоростей будет носить эскизный характер, то надо знать свойства параллелограммов и треугольников, теоремы синусов и косинусов (см. приложение). Задача сведется к вычислительной работе по определению диагонали параллелограмма по известным его сторонам и углам наклона сторон к осям координат, то есть к решению школьной геометрической задачи. По теореме косинусов:

, (3.9)

Угол - угол между слагаемыми векторами . Искомый вектор скорости определяется с погрешностью, зависящей от погрешности вычислений.