3.13. Если мгновенный центр ускорений известен, известны угловая скорость и угловое ускорение , то ускорение точки находится по следующему правилу:

1. Находится расстояние от точки до точки . 2. Модуль вектора ускорения точки плоской фигуры определяется по первой из формул (3.33). 3. Вычисляется угол по второй из формул (3.33). 4. Приложив вектор в точке он сначала мысленно направляется к точке , а затем поворачивается на угол от отрезка в сторону дуговой стрелки (то есть в сторону своей составляющей ) (рис. 3.20).

§ 3.5. Задачи с решениями на определение ускорений отдельных точек тела при плоскопараллельном движении

Задача 3.12. К кривошипу , равномерно вращающемуся в плоскости рисунка вокруг точки с угловой скоростью , прикреплен шатун , соединенный с коромыслом . Определить ускорение точки шатуна, угловые скорости , и угловые ускорения , шатуна и коромысла .

Решение. Начнем с определения скоростей. Шатун совершает плоскопараллельное движение. Движение точки можно легко определить. Поэтому за полюс примем точку и по исходным данным определим скорость и ускорение точки А шатуна. Так как точку принадлежит и равномерно вращающемуся кривошипу , то по (2.16) . Вектор перпендикулярен к и направлен в сторону вращения кривошипа. По формулам (2.17) и (2.18) при : , . Вектор нормального ускорения направлен от точки к точке О. Точка принадлежит вращающемуся коромыслу и шатуну одновременно. Следовательно, траектория точки В известна. Точки В движется по окружности радиуса ВС. Поэтому вектор скорости перпендикулярен к и направлен так, как показано на рисунке 2 к задаче. Последнее следует из теоремы о проекциях скоростей. По этой же теореме находится и величина . Проецируя векторы на ось , получим: . Или .

Чтобы найти , построим мгновенный центр скоростей шатуна АВ. Из треугольника видно, что . Или .

Тогда , .

Переходим к определению ускорений. Векторы нормальных ускорений отдельных точек тел, совершающих вращательное движение, направлены к оси вращения. То есть их направления всегда известны, если известна ось вращения. В данной задаче оси вращения проходят через точки перпендикулярно плоскости рисунка. Оси, проходящие через точки , - неподвижны, а две другие – подвижные, «мгновенные» оси. Векторы касательных ускорений отдельных точек вращающихся тел направлены по касательным к их траекториям, но часто бывает не известно в какую сторону. Если направления векторов линейных скоростей точек уже известны, то неизвестные векторы касательных ускорений будем направлять в ту же сторону. Это соответствует предположению об ускоренном движении точек. Угловые ускорения вращающихся тел, связаны с соответствующими касательными ускорениями, направления их согласованы. С учетом сказанного, на рис.2 показаны векторы касательных ускорений точек и угловых ускорений тел .

Учитывая, что точки и описывают окружности радиуса и соответственно, запишем векторное уравнение (3.20):

(*)

где , , , , , . Все векторы ускорений показаны на рисунке 2 к задаче. Модули векторов , пока неизвестны.

Спроектируем обе части векторного уравнения (*) сначала на ось Вх₁ (направление ВА), затем на ось Вх₂ (направление ВС):

,

.

Решая совместно эти уравнения, получим:

.

.

Математически знак минус указывает на то, что векторы , показанные на рисунке 2, в действительности направлены в обратную сторону, и их истинные направления, удовлетворяющие уравнению (*), не совпадают с направлениями соответствующих векторов линейных скоростей , которые уже были определены. С механической стороны не совпадение направлений соответствующих векторов линейных скоростей и ускорений означает, что точка в данный момент совершает мгновенно замедленное движение.

Вычислим, наконец, модуль ускорения точки и угловые ускорения шатуна и коромысла - .

, ,

Знак (–) в обоих случаях связан с полученными знаками для соответствующих проекций векторов и указывает на то, что вращение шатуна АВ и коромысла ВС из рассматриваемого положения является замедленным. Другими словами, истинные направления криволинейных стрелок противоположно тому, что показано на рисунке 2 к задаче. Ответ: , ,

, , .

Задача 3.13. Груз 3 движется сог­ласно закону . Опре­де­лить скорости и ус­ко­рения точек , , подвижного блока в мо­мент времени , если радиус подвижного блока

Решение: Груз 3 движется поступательно вниз. Его скорость . При ; , ускорение . Блок 1 дви­жется плоскопараллельно. Так как левая часть нити неподвижна, то точ­ка имеет скорость . Следовательно, точка - мгно­вен­ный центр скоростей (МЦС) блока 1. Так как проскальзывание нити по блоку 1 отсутствует, значение скорости в точке равно значению скорости гру­за 3, то есть . Угловая скорость блока 1 при равна . Найдем скорости точек и подвижного блока : ; .

Рис.1 к задаче 3.13

Определим ускорения точек А, В, С плоской фигуры. Касательное ускорение точки равно ускорению груза 3: . Так как , то и ; . Значение , так как точка О движется прямолинейно. Итак, модуль и направление ускорения точки известны, поэ­то­му будем считать данную точку полюсом. По (3.25) найдем век­торы ускорений точек , и :

; ;

Спроецируем эти векторные равенства на оси О , О .

; ; ; ;

; ,

где , .

Тогда ; ;

.

Отметим, что . Это значит, что величины ускорений точек нити (или груза 3) в два раза больше величины ускорения точки О. Ответ: ; ; ; ; ; .

Задача 3.14. Диск радиуса , совершающий плоскопараллельное движение, катится без скольжения по горизонтальной плоскости (рис. 1 к задаче 3.14). Центр диска движется равнозамедленно с ускорением , модуль которого . Определить вектор полного ускорения точки диска в тот момент времени , когда скорость центра .

Решение. Для определения вектора ускорения точки воспользуемся формулой (3.25), приняв за полюс центр диска точку , скорость и ускорение которой известны.

+ . (*)

Здесь , . Найдем угловую скорость и угловое ускорение диска, учитывая, что точка является мгновенным центром скоростей. , и для момента времени , когда , имеем следующее значение угловой скорости:

(**)

Направление соответствует направлению вектора скорости и показано дуговой стрелкой на рис.2 к задаче 3.14.

Замечание: по условию задачи центр диска движется замедленно. Другими словами его скорость меняется с течением времени. То есть надо считать, что величина скорости есть функция времени . Следовательно, и угловая скорость диска есть функция времени. Но в момент времени по условию задачи и

Угловое ускорение диска в любой момент времени вычисляется по формуле . Продифференцируем по времени с учетом того, что расстояние от точки О до МЦС в любой момент времени равно . Тогда . По условию задачи центр диска движется равнозамедленно, то есть с постоянным ускорением (замедлением) . Тогда в любой момент времени, в том числе и при , для модуля углового ускорения имеем: . Следовательно, и . Оно имеет одно и то же значение для любого момента времени. Направление соответствует направлению вектора ускорения и показано дуговой стрелкой на рис.2 к задаче 3.14. Направления и не совпадают, поэтому движение диска замедленное.

Теперь для момента времени можно вычислить , . Вектор касательного ускорения приложен к точке и направлен по направлению дуговой стрелки (Рис.2,3 к примеру). Вектор нормального ускорения приложен к точке и направлен к полюсу .

1.Геометрическая интерпретация векторного равенства (*) показана на рис.3 к примеру. Вектор ускорения точки получается сложение по правилу параллелограмма двух взаимно перпендикулярных векторов + и (рис.3). Эти векторы взаимно перпендикулярны, параллелограмм превращается в прямоугольник. Поэтому величину (модуль) вектора можно найти по теореме Пифагора:

= .

Угол наклона вектора , как видно по рисунку, определится из уравнения . Отсюда . 2. Для определения вектора можно воспользоваться методом проекций. Спроецируем уравнение (*) на оси координат (см. рис. 3 и 4). Получим: + , + . Здесь , , , , , . Тогда , . Модуль вектора вычисляется обычным способом: . Направление вектора полного ускорения определяется в данном случае по знакам его проекций на оси координат, а для модуля угла имеем уравнение . Отсюда , что полностью совпадает с полученным ранее значением. Ответ: , .

Задача 3.15. Концы бруса , движущегося в вертикальной плоскости, скользят по горизонтальной и наклонной плоскостям (рис. к задаче 3.15). В момент времени, когда , величина скорости и величина ускорения . Определить в данный момент времени величины скорости и ускорения конца бруса, угловую скорость бруса и угловое ускорение , если . Ответ: , , , .

Задача 3.16. По неподвижной шестерне 1 радиуса обкатывается шестерня 2 радиуса , насаженная на кривошип . Кривошип вращается относительно неподвижной оси, проходящей перпендикулярно плоскости рисунка через точку , и имеет в данный момент времени угловую скорость и угловое ускорение . Определить в данный момент времени угловую скорость , угловое ускорение второй шестерни и величину ускорения точки , если радиус перпендикулярен оси кривошипа . Ответ: , , .

Задача 3.17. Стержень длиной движется в плоскости чертежа. В некоторый момент времени точки и имели ускорения, модули которых , . Определить угловое ускорение стержня , если в данный момент времени угол . Ответ: .

Задача 3.18. Тело в форме прямоугольника находится в плоскопараллельном движении. Найти в показанный на рисунке момент времени его угловую скорость , если модули ускорений , . Расстояние , угол . Ответ: .

Задача 3.19. Определить величину ускорения ползуна и угловое ускорение шатуна кривошипно-шатунного механизма в показанном на рисунке положении, если угловое ускорение кривошипа в данный момент времени . Длины звеньев , . Ответ: , .

Задача 3.20. Кривошип планетарного механизма вращается с постоянной угловой скоростью относительно оси, проходящей перпендикулярно к плоскости рисунка через центр неподвижного колеса . Определить модуль ускорения точки , являющейся мгновенным центром скоростей подвижного колеса , если радиусы колес . Ответ: .

Задача 3.21. Кривошип кривошипно-шатунного механизма вращается с постоянной угловой скоростью . В показанном на рисунке положении механизма определить угловую скорость и угловое ускорение шатуна АВ , модули скоростей и ускорений точек , если , , , . Ответ: , , , , , , .

Замечание: На рис.1 к задаче приведена исходная схема механизма. На рис. 2 к задаче приведена расчетная схема, которая сопровождает вычисления. Это некоторая «подсказка» к решению. Рекомендуется при решении задачи на первом этапе разобраться со скоростями, а векторы ускорений с рисунка убрать. На втором этапе определяются ускорения. При этом векторы скоростей с рисунка надо убрать, чтобы не загромождать рисунок.