2. Метод проекций для определения ускорений

С методом проекций мы уже сталкивались при обсуждении методов определения скоростей. С математической стороны здесь все делается так же, но применительно к другим механическим уравнениям. Введем на плоскости некоторую прямоугольную систему координат . Начало координат О, и направление осей выбираются произвольно. Спроецировав любое из уравнений (3.24)-(3.29) на эти оси, получают соответствующие уравнения метода проекций. Например, векторное уравнение (3.29) заменится двумя скалярными уравнениями:

, . (3.30)

Все входящие в эти уравнения величины – это проекции соответствующих векторов. Из системы уравнений (3.30) могут быть определены любые две входящие в них величины. Остальные величины должны быть известны заранее. Если, например, из системы (3.30) определены проекции вектора ускорения точки В - , то модуль вектора ускорения находится по формуле:

= . (3.31)

Направление вектора в принятой системе координат можно установить по проекциям . Выбор осей координат не влияет на конечный результат, но может существенно облегчить или затруднить вычисления

Пример 3.11. Стержень движется в плоскости. В данный момент времени точки имеет ускорение , угловая скорость стержня , угловое ускорение . Направление угловой скорости и углового ускорения показаны дуговыми стрелками на рисунке 1 к примеру. Определить величину ускорения точки стержня, если длина его , а модуль вектора ускорения .

Решение. Стержень в данный момент времени вращается замедленно, так как и имеют противоположные направления. За полюс примем точку , ускорение которой известно. Это единственная причина для выбора полюса в точке . По (3.25) + . Это уравнение позволяет определиться с направлением соответствующих векторов ускорений на плоскости в данный момент времени. Направление вектора дано в условии примера. Направление вектора определено по направлению . Вектор нормального ускорения всегда направлен к выбранному полюсу. Модули двух последних векторов вычисляются по формулам (3.17). , . по условию примера. Далее воспользуемся методом проекций. Введем оси координат, показанные на рисунке 2 к примеру, и спроецируем векторное уравнение (3.25) на эти оси. Получим:

, , (*)

где , = , , , , . Удачный выбор осей координат существенно облегчил нахождение проекций, многие из них равны нулю. Окончательно из (*) получим , , Ответ:

3. Мгновенный центр ускорений (мцу). Определение ускорений точки плоской фигуры с использованием мгновенного центра ускорений

3.12. Мгновенным центром ускорений плоской фигуры называется точка в плоскости движения фигуры, ускорение которой равно нулю ( ).

Слово «мгновенный» указывает на то, что при плоскопараллельном движении плоской фигуры положение этой точки в общем случае меняется с течением времени и может быть определено для конкретного момента времени. Так же было и с мгновенным центром скоростей. Пусть положение МЦУ известно. Примем её за полюс. Тогда ускорение произвольной точки плоской фигуры вычисляется по формулам (3.24) и (3.25), которые теперь принимают вид: Отсюда так как . Вывод: При плоскопараллельном движении и известном МЦУ вектор полного ускорения любой точки плоской фигуры определяется как вектор ускорения этой точки во вращательном движении плоской фигуры относительно МЦУ ( ).

Величины векторов вычисляются по формулам (3.26).

, . (3.32)

Здесь - угловая скорость и угловое ускорение плоской фигуры соответственно, - расстояние от мгновенного центра ускорений до точки , ускорение которой в данный момент хотим определить. А формулы (3.27) будут иметь вид:

. (3.33)

(3.34)

 – угол отклонения вектора от отрезка соответственно.

Как определить мгновенный центр ускорений (МЦУ)? Рассмотрим два частных случая.

Первый случай. Известен вектор ускорения некоторой точки плоской фигуры (известны его модуль и направление в точке ), а так же угловая скорость и угловое ускорение самой фигуры. Для определения нужно:

1. Изобразить вектор в точке . 2. Вычислить угол по формуле (3.33). 3. Мысленно повернуть вектор на угол в направлении дуговой стрелки и провести в направлении повернутого вектора луч . 4. Вычислить длину отрезка по формуле (3.34). Это дает . 5. Отложить от точки на луче отрезок длиной и найти точку .

Докажем, что . Выберем точку за полюс и вычислим ускорение точки . По имеем формуле (3.25) , где

. Модуль вектора = = . Но по построению . Тогда = = . Далее, прямая отклонена от вектора на угол в сторону по построению. Вектор отклонен от направления на тот же угол, найденный из (3.33), по свойствам вращательного движения. Следовательно, , что показано на рис.3.20. Тогда . Что и требовалось доказать.

Второй случай. Пусть известны только направления векторов ускорений двух точек плоской фигуры (модули не известны), угловая скорость и угловое ускорение самой фигуры. Для определения нужно:

1. Вычислить угол по второй из формул (3.33). 2. Мысленно повернуть векторы и в точках их приложения на угол в направлении дуговой стрелки и провести в направлении повернутых векторов лучи и . 3. Точка пересечения этих лучей определит положение мгновенного центра ускорений (рис. 3.21). Доказательство основано на том, что точка должна лежать на двух построенных прямых и одновременно, так как обе они построены по обсужденной в первом случае методике. Но две не параллельные прямые на плоскости имеют только одну общую точку – точку пересечения. Что доказывает, высказанное утверждение о положении точки . Отсюда следует и единственность этой точки.

Сравнивая ускорения разных точек плоской фигуры, вычисленные по (3.33), находим, что они пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра ускорений.

(3.35)