Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Кин.-Гл.1. (59стр).doc
Скачиваний:
3
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
3.73 Mб
Скачать

2. Точка движется в трехмерном пространстве

. (1.23)

, (1.24)

, , , (1.25)

(1.26)

Обратная задача. Здесь заданным или известным принимается радиус-вектор точки . По заданному (известному) радиус-вектору нужно построить функции типа (1.17), которые определяли бы движение точки координатным способом. Выкладки проведем только для движения точки в пространстве. Для движения в плоскости надо будет просто пробросить (обнулить) функции с индексом « z ».

а) Радиус - вектор задан своими координатами .

(1.27)

Тогда

, , = . (1.28)

б) Радиус - вектор задан модулем и направляющими косинусами углов , , . Тогда (рис.1.6) получим:

, , (1.29)

То есть движение определилось координатным способом.

Пример 1.3. Движение точки в плоскости задано векторным способом . Задать это движения координатным способом. Изобразить уравнение траектории точки и показать на рисунке данный радиус – вектор в момент времени

Р

ешение. Радиус вектор точки задан через свои проекции . . Таким образом, при координатном способе движение задается уравнениями . Получим уравнение траектории. Из второго уравнения движения выразим время: . Подставим это в первое уравнение движения. Тогда получим следующее уравнение траектории: . Это верхняя часть параболы (так как уравнения движения дают ) с ветвями вытянутыми вдоль оси . При точка имеет координаты . Эти же значения определяют значения проекций радиус-вектора для момента времени . По вычисленным значениям проекций радиус - вектора строится сам вектор для конкретных моментов времени, как показано на рисунке. Тангенс угла наклона радиус-вектора к оси равен: . Угол теперь можно найти по таблицам.

§ 1.5. Скорость и ускорение точки при координатном способе задания движения

Скорость точки при координатном способе задания движения

Обозначим через - проекции вектор скорости на соответствующие оси произвольно выбранной системы координат . Тогда

. (1.30)

Кроме того, как было показано выше, радиус-вектор точки может быть представлен через свои проекции по формулам:

= , (1.31)

где - это функции из уравнений движения точки (1.17). По (1.13) с учетом (1.30) и (1.31) имеем:

= (1.32)

Два вектора равны, если их одноименный проекции на оси одной и той же системы координат равны. Тогда из (1.32), получим:

, , (1.33)

Здесь точки над функциями означают дифференцирование по времени. Итак,

1.20. Проекции вектора скорости равны первым производным по времени от соответствующих функций закона движения точки (1.7).

По проекциям вектора скорости (1.33) определяется и его модуль .

(1.34)

С осями Оx, Оy, Оz вектор скорости образует, соответственно, углы α1, β1, γ1, косинусы которых определяются по формулам :

(1.35)

Для направляющих косинусов вектора скорости имеет место равенство:

(1.36)

Ускорение точки при координатном способе задания движения.

Обозначим через - проекции вектор ускорения на соответствующие оси произвольно выбранной системы координат .

Вектор ускорения можно записать через его проекции

. (1.37)

Тогда из (1.15) с учетом формул (1.30), (1.31), (1.33) получим:

(1.38)

Или

(1.39)

Здесь две точки над функциями означают вторую производную по времени от соответствующих функций, одна точка над функциями означает первую производную по времени от соответствующих функций. Итак,

1.21. Проекции вектора ускорения равны первым производным по времени от соответствующих проекций вектора скорости или вторым производным по времени от соответствующих функций закона движения (1.7).

По известным проекциям вектора определяются его модуль и направляющие косинусы.

(1.40)

Обозначая углы, которые образует вектор с положительными направлениями осей Оx, Оy, Оz через α2, β2, γ2, для направляющих косинусов получаем формулы:

(1.41)

(1.42)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]