§ 1.2. Векторный способ задания движения
При векторном
способе задания движения положение
точки М
определяется радиус-вектором
(рис.1.1).
.
(1.1)
Начало радиус-вектора совпадает с началом системы координат. Конец радиус-вектора упирается в движущуюся точку М (рис.1.1а). Конец радиус-вектора , следуя в пространстве за точкой М, описывает, в общем случае, пространственную кривую, которая называется годографом радиус-вектора . Эта кривая и есть траектория точки (рис.1.1а). Таким образом, годограф радиус - вектора имеет четкий механический смысл.
1.10. При векторном способе задания движения траекторией движения точки является годограф радиус-вектора .
На рисунках 1.1а, б, в показаны три возможных случая движения точки: пространственное криволинейное движение точки, криволинейное движение точки в плоскости и прямолинейное движение двух точек. Изменение радиус-вектора с течением времени проявляется в том, что с течением времени меняется его длина (модуль) и направление в пространстве или на плоскости (меняются углы между направлением вектора и положительными направлениями осей). При прямолинейном движении точки меняются модуль и направление на прямой (для точки М вектор направлен вправо, для точки N - влево).
Что стоит за краткой и красивой формулой (1.1)? Фразу «вектор известен» нужно понимать так, что мы можем вычислить его длину (модуль вектора) и определить его направление в пространстве или на плоскости в любой момент времени. Это можно проделать двумя способами.
Пусть траекторией точки является пространственная кривая – радиус вектор расположен в трехмерном пространстве (рис. 1.1а).
1. Задать векторную функцию скалярного аргумента в трехмерном пространстве равносильно тому, чтобы задать четыре скалярные функции
,
,
,
.
(1.2)
Здесь первая функция дает закон изменения длины радиу-вектора, три другие называются направляющими косинусами радиус-вектор . Они определяют направление радиус-вектора в пространстве.
;
;
.
Известно, что из трех направляющих косинусов, независимыми являются только два, так как существует основное тригонометрическое тождество, и третий косинус может быть в каждый момент времени вычислен по известным двум другим:
+
+
(1.3)
Таким образом, для пространственной траектории «вектор известен», если известны три скалярные функции, например, , , .
2. Задать векторную
функцию скалярного аргумента
в трехмерном пространстве равносильно
тому, чтобы задать три скалярные функции
времени – координаты вектора
.
Тогда
+
+
,
где
-
единичные вектора соответствующих
осей. Зная
можно построить вектор в любой момент
времени:
=
.
(1.4)
=
/
,
=
,
(1.5)
=
(1.6)
Пусть траекторией
точки является плоская кривая – радиус
вектор лежит в плоскости (рис. 1.1б).
Ось Oz
образует с плоскостью Oxy
прямой угол,
следовательно,
,
и
в любой момент времени.
1. Функции (1.2) и тождество (1.3) в этом случае записываются в виде:
, , . (1.7)
+ =1 (1.8)
Тождество (1.8) в
школьных курсах тригонометрии записывается
по-другому. Действительно, по рис.1.1б
видно, что
.
Тогда тождество (1.8) принимает привычный
вид:
.
(1.9)
Таким образом, в случае плоской траектории «вектор известен», если известны две скалярные функции, например, , . Второй направляющий может быть определен из (1.8).
2. Формулы (1.4)-(1.6) в этом случае записываются в виде:
=
.
(1.10)
=
/
,
=
.
(1.11)