§ 1.4. Координатный способ задания движения

При координатном способе задания движения положение материальной точки М в пространстве задается ее координатами (рис.1.6), как функциями времени.

(1.17)

1.19. Уравнения (1.17) называются уравнениями движения точки при координатном способе задания движения в декартовой прямоугольной системе координат.

Зная функции (1.17) можно вычислить координаты точки в любой момент времени и, следовательно, определить её местоположение.

Уравнение траектории при координатном способе задания движения

Как известно, система функции (1.17) уже являются параметрической формой уравнения пространственной кривой, которая может быть построена по точкам. Но функции (1.17) позволяют получить и каноническую форму уравнения траектории точки.

1.120. Чтобы определить уравнение траектории точки в заданной системе отсчета, при координатном способе задания движения необходимо исключить время t в уравнениях движения.

Рассмотрим пример.

Пример 1.2. Точка движется в плоскости согласно уравнениям: ( ). Определить уравнение траектории точки и найти её положение на траектории в момент времени

Решение: Выразим параметр времени из первого уравнения и подставим во второе уравнение. Тогда , а уравнение траектории примет вид:

. (*)

Видим, что траектория точки – прямая линия (рис. к примеру 2). Если посмотреть на уравнения движения, то увидим, что точка движется так, что в любой момент времени должны выполняться условия , так как всегда. Отсюда делаем вывод, что траекторией точки является только та часть прямой, которая лежит в первой четверти координат. Она и показана на рисунке к задаче. В момент времени точка имеет координаты . Проверим, лежит ли эта точка на траектории. Для этого подставим в уравнении траектории (*). Получаем . Ответ: Траектория определена верно и задается уравнением (*). В момент времени точка находится в точке плоскости с координатами .

§ 1.4. Связь между координатным и векторным способами задания движения

Законы природы, в том числе законы механического движения, носят объективный характер. Они не зависят от средств и методов научного познания, которыми пользуется человек. Поэтому между различными способами задания движения должны существовать связи и взаимные переходы.

Сформулируем и укажем путь решения следующих двух задач.

Прямая задача. Пусть движение точки задано координатным способом, то есть известны функции (1.17). Требуется построить вектор , который задавал бы то же самое движение, той же самой точки, но векторным способом. Поскольку рассматривается движение единственной точки, индекс у функций (1.17) будем опускать.

1.Точка движется в плоскости. а) Найдем координаты радиус-вектора . Как известно, радиус-вектор точки, может быть записан через свои проекции в виде:

(1.18)

Тогда из рис.1.1 легко увидеть, что проекции радиус - вектора на оси координат совпадают с заданными по формулам (1.17) координатами точки.

. (1.19)

То есть в том случае, когда заданы функции радиус-вектор определяется без дополнительных вычислений .

(1.20)

, (1.21)

Здесь - углы между направлением найденного радиус-вектора на плоскости и положительными направлениями осей соответственно.

При этом имеет место основное тригонометрическое тождество:

(1.22)