Равнопеременное криволинейное движение точки.
Равнопеременным
криволинейным движением точки называется
движение, при котором модуль вектора
касательного ускорения точки
остается постоянным в процессе движения
(
).
Пусть на некотором
промежутке времени
точка совершает равнопеременное
криволинейное движение. Предполагается,
что на траектории задана криволинейная
система координат
и закон движения по траектории
.
Из определения следует, что на этом
промежутке времени алгебраическая
величина касательного ускорения
или
.
По (1.55) можно записать:
или
,
так как
.
Интегрируя первое
равенство при начальных условиях
получим по аналогии с (1.65) закон
изменения алгебраической величины
скорости
.
Отсюда видим, что величина скорости
в данном случае меняется по линейному
закону, так как
.
Подставим в равенство
выражение
и проинтегрируем полученное равенство
еще один раз при начальных условиях
.
Тогда,
,
,
,
,
.
Отсюда видим, что
координата точки
в данном случае меняется по параболическому
закону, так как
.
Таким образом, закон движения точки и закон изменения алгебраической величины её скорости при равнопеременном криволинейном движении имеют вид:
(1.78)
(1.79)
В этих формулах
-
координата начального положения точки
и начальная алгебраическая величина
скорости соответственно.
1.26 Если при движении точки , то движение будет ускоренным. В этом случае вектор скорости и вектор касательного ускорения направлены в одну сторону (сонаправлены) и модуль скорости возрастает.
1.27. Если при
движении точки
,
то движение называется замедленным. В
этом случае вектор скорости и вектор
касательного ускорения направлены в
противоположные стороны (не сонаправлены)
и модуль вектора скорости убывает.
§ 1.9. Свободное прямолинейное движение точки по
вертикали.
Рассмотрим два
очень важных и часто встречающихся вида
движения твердых тел - свободное падение
тела с некоторой высоты без учета сил
сопротивления воздуха и движение тела,
брошенного вертикально вверх без учета
сопротивления воздуха. В тех случаях,
когда тело конечных размеров можно
принимать за точку, оба эти случая можно
рассмотреть с позиций теории
равнопеременного движения точки при
.
Здесь
-
вектор ускорения свободного падения
точки. Тогда, по (1.73) и (1.74) при прямолинейном
вертикальном свободном падении для
принятой системы координат с заменой
оси х
на ось z
имеем:
,
.
Если тело
падает без начальной скорости и из
начала координат, то
и тогда
,
.
Если тело падает с высоты
,
эти формулы
принимают вид
,
,
где
- полное время падения тела с высоты
до плоскости
.
Выражая
из второго равенства и подставляя в
первое, для значения вектора скорости
в момент падения на плоскость
(см. рис.1.18) получим формулу:
,
(1.80)
которая носит имя Галилео Галилея (1564-1642гг).
Если тело брошено
вертикально вверх со скоростью
,
то для принятой системы координат (когда
ось Оz
направлена вверх, см. 1.18 б) законы
изменения скорости точки и закон
движения точки при
вид:
,
.
Когда точка
достигает максимальной высоты подъема
,
скорость
и из второго соотношения получаем
.
Тогда первое равенство дает :
.
То есть максимальная высота подъема тела , брошенного вертикально вверх со скоростью вычисляется по формуле:
.
(1.81)
С другой стороны, чтобы достичь заданной высоты подъема (см. (1.81)), тело надо бросить вертикально вверх со скоростью
(1.82)
Последняя формула совпадает с формулой (1.80). Практическое применение формул (1.80), (1.82) возможно только при движениях в пределах небольших высот , так как влияние сопротивления воздуха на скорость движения тела при получении этих формул не учитывалось.