5.3. Основні поняття та закони булевої алгебри
5.3.1. Основні поняття булевої алгебри
Висловлення – основне поняття алгебри логіки – речення, в якому міститься сенс твердження істинності або хибності.
Висловлення - X або Y; Х=1 – істинне; Х=0 – хибне.
Інверсія:
якщо
х=1,
то
;
якщо х=0,
;
подвійне
заперечення
дорівнює
самому аргументу
.
Вхідний
набір
це певна комбінація двох змінних у
логічній функції Y.
Максимальне значення вхідних наборів
М=2n,
де n
– число змінних (розрядів аргумента).
Логічна
функція
y=f(х1,…,х2)
– це складне висловлення, яке складається
з кількох простих, і які, своєю чергою,
пов’язані логічними операціями Y
{0,1}
на наборі логічних змінних x1
{0,1}.
Однозначна
логічна
функція
приймає
одне значення для
кожного
значення аргументу,
наприклад,
однозначні
функції
y=0,
y=1;
y=x,
.
Багатозначна
логічна
функція
приймає
багато значень для різних значень
аргументів. Повністю
визначена функція
має значення 1 або 0 на усіх
вхідних наборах.
Три
основні логічні операції:
заперечення
– інверсія,
диз’юнкція,
кон’юнкція.
В
табл. 5.3 подана таблиця істинності
додавання
v
– диз’юнкції; множення • - кон’юнкції.
Таблиця 5.3 - Таблиця істинності функцій АБО та І
Х1 |
Х2 |
Y(V) |
Y (Λ) |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
5.3.2. Аксіоми Булевої алгебри
-
універсальна
множина;
- нульова
множина;
-
повторення
(тавтологія);
- доповнення;
- подвійна інверсія.
Принцип дуальності – основний принцип булевої алгебри: дві функції рівносильні, якщо на всіх можливих наборах вони набувають однакового значення f1(x1…xn)=f2(x1…xn)
З принципу дуальності можна сформулювати такі правила:
ПРАВИЛО ШЕНОНА: Алгебричний вираз інверсної функції отримується заміною змінних на інверсні, знаків кон’юнкції на диз’юнкцію і навпаки.
;
ПРАВИЛО ДЕ МОРГАНА: Інверсія кон’юнкції дорівнює диз’юнкції інверсій; інверсія диз’юнкції дорівнює кон’юнкції інверсій.
5.3.3. Основні закони бульової алгебри
Закон
комутативності (переміщення)
Закон
асоціативності (сполучення)
Закон
дистрибутивності (розподілу)
Закон
склеювання
Закон
поглинання
Закон
дуальності (правило де Моргана)
(справедливий для довільного числа змінних)
Першість виконання операцій: 1) заперечення; 2) кон’юнкція; 3) диз'юнкція; 4) імплікація; 5) рівнозначність.
5.3.4. Властивості логічних функцій
Для двох аргументів усього може бути 16 логічних функцій (табл. 5.4).
Функціонально повний набір (система) булевих функцій – це такий набір, на основі якого можна отримати довільну булеву функцію, застосовуючи лише метод суперпозиції (метод перенумерації, перейменування або декомпозиції) аргументів для отримання нових функцій. Питання мінімального функціонально повного набору дуже важливе для практики для зменшення апаратних затрат на виготовлення різних типів мікросхем. На підставі практичного досвіду, зазвичай, до функціонально повного набору відносять функції, подані в табл. 5.5.
Таблиця 5.4 – Властивості логічних функцій
Набір аргументів |
Назва логічної функції |
Визначення логічної функції |
||||
Х1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
||
Х2 |
0 |
1 |
0 |
1 |
||
F1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
константа нуль |
0 |
F2 |
0 |
0 |
0 |
1 |
кон’юнкція |
|
F3 |
0 |
0 |
1 |
0 |
заборона Х2 |
|
F4 |
0 |
0 |
1 |
1 |
повторення Х1 |
х1 |
F5 |
0 |
1 |
0 |
0 |
заборона Х1 |
|
F6 |
0 |
1 |
0 |
1 |
повторення Х2 |
|
F7 |
0 |
1 |
1 |
0 |
виняткове АБО |
|
F8 |
0 |
1 |
1 |
1 |
диз’юнкція |
|
F9 |
1 |
0 |
0 |
0 |
функція Пірса |
|
F10 |
1 |
0 |
0 |
1 |
рівнозначність (еквівалентність) |
|
F11 |
1 |
0 |
1 |
0 |
інверсія Х2 |
|
F12 |
1 |
0 |
1 |
1 |
імплікація від Х2 до Х1 |
|
F13 |
1 |
1 |
0 |
0 |
інверсія Х1 |
|
F14 |
1 |
1 |
0 |
1 |
імплікація від Х1 до Х2 |
|
F15 |
1 |
1 |
1 |
0 |
функція Шефера |
|
F16 |
1 |
1 |
1 |
1 |
константа 1 |
1 |
Логічні елементи – елементи, що реалізують булеві (логічні) операції.