2.1.2. Імпеданс котушок індуктивності

Котушки для змінного струму є залежним від частоти опором, який називається реактансом, і опором для сталого струму, який по суті є опором застосованого дроту. Індуктивний реактанс вираховують за формулою:

X_L=ωL, (2.1)

де ω=2·π·f – кутова частота в рад/с; f – частота в Гц; L – індуктивність в Гн.

Імпеданс Z котушки для даної частоті є комплексною величиною опору і реактансу:

. (2.2)

Для кращого розуміння індуктивної котушку як елемента електричного кола, можна застосувати спрощену схему, подану на рис. 2.1.

Рис. 2.1 – Схема заміщення котушки індуктивності

L - індуктивність котушки; R_S - послідовний опір, значення якого рівне опору дроту та інших втрат в дроті і в осерді; C_L - власна ємність котушки.

Добротність Q (Q від англ. слова Quality) є відношенням реактансу котушки до її послідовного опору. Нижче значення опору дає вищу добротність Q і фільтри мають більшу крутизну скатів.

Q=X_L /R_S, (2.3)

2.1.3. Резонанс

Котушка індуктивності спільно з конденсатором створює резонансний контур, який характеризується резонансною частотою, при якій реактанси індуктивності і конденсатора є рівними. При резонансній частоті повний імпеданс системи індуктивність-конденсатор є найнижчим при послідовному з’єднанні (рис. 2.2.а). Формула для резонансної частоти

. (2.4)

Частота подається в Герцах, оскільки індуктивність L подається у Гн, то ємність C_L - у Ф. Якщо L і C_L подається відповідно в мГн і мкФ, то частоту отримаємо в МГц.

Р ис. 2.2 – Еквівалентні схеми та частотні залежності імпедансів послідовного (а) та паралельного (б) з’єднань реактансів

Власна ємність котушки C_L разом з індуктивністю створюють резонансний контур. Частота такого контуру називається частотою власного резонансу. Власна ємність може створювати проблеми на вищих частотах, оскільки, зазвичай, не передбачається її при підрахунках. Частота при вимірюванні добротності повинна становити не більше, ніж 1/10 резонансної частоти.

2.1.4. Підрахунок параметрів котушок індуктивності без осердь

Енергію, накопичену в котушці індуктивності можна підрахувати за формулою

W=1/(2L·І²), (2.5)

де W – енергія, Дж; L - індуктивність котушки, Гн; І - струм (А), що проходить через котушку.

Перед тим, як перейти до підрахунку параметрів котушок потрібно відмітити, що простий відрізок дроту також має індуктивність. Це важливо враховувати на високих частотах. Тому виводи котушок індуктивності повинні бути якомога коротші, наприклад, при послідовному підключенні з конденсатором. В противному випадку може виникнути нестійке коло. Індуктивність дроту визначається за формулою

. (2.6)

При довжині дроту l і діаметрі d в см, індуктивність отримаємо в мкГн. Коефіцієнт х залежить від частоти і форми. Якщо дріт прямий, то на високій частоті х=1, а на низькій частоті х=0,75. Якщо дріт буде зігнутий, то індуктивність буде нижча. Для одновиткового круга х=2,45 на високих і х=2,20 на низьких частотах, натомість для квадрата, відповідно, 2,85 і 2,60.

Якщо потрібно збільшити індуктивність, то можна оточити провідником магнітний матеріал, наприклад, у вигляді фериту або намотати багато навоїв спірально. В останньому випадку дріт є справді зігнутим, але ефект взаємодії навоїв буде великим (взаємна індуктивність навоїв). Індуктивність котушки зростає пропорційно до квадрату кількості навоїв у котушці.

Індуктивність одношарової повітряної котушки підраховується за формулою

L=(0,08d²n²)/(3d+9s), (2.6)

де s - довжина котушки (см); d - діаметр подаються (см); n – кількість навоїв; індуктивність котушки отримується в мкГн.

Найвище значення добротності котушки отримується тоді, коли довжина s котушки є в 2-2,5 рази більша, ніж її діаметр. Діаметр котушки d повинен бути в 5 разів більший, ніж діаметр дроту.

Індуктивність багатошарової повітряної котушки підраховується за формулою:

L=(0,08 d²n²)/(3d+9s+10a), (2.7)

де d – середнє значення діаметру; a – товщина котушки вздовж радіуса (всі величини в см); індуктивність в мкГн.

Для друкованих котушок, які виконуються на фольгованих друкованих платах з товщиною плівки 35 мкм, індуктивність вираховується за формулою

L=nD_m (nK₁+K₂), (2.8)

де L - індуктивність в мкГн; n – кількість навоїв; D_m - діаметр котушки в см; K₁, K₂ - це сталі, значення яких залежать від форми котушки.

Нижче поданий спосіб підрахування D_m, К₁ і К₂. Наприклад, друкована котушка індуктивності має такі параметри: d₁=d₂=0,5 мм, товщина мідної фольги, 14 навоїв і d=10 мм. Підрахунок індуктивності:

с=n(d₁+d₂)=14(0,5+0,5) мм=1,4 см; D_m=c+d=1,4+1,0=2,4 см;

c/D_m=1,4/2,4≈0,58, тоді з рис. 2.3.а знаходимо К₁=9,2·10^-3; (d₁+d₂)/ d₁=(0,5+0,5)/0,5=2, тоді з рис. 2.3.б знаходимо К₂=3,5·10^-3. Остаточно отримуємо L=nD_m (nK₁+K₂)=14·2,4(14·9,2·10^-3+3,5·10^-3)=4,45 мкГн.

Н а рис. 2.4. подано математичні співвідношення для підрахунку

Рис. 2.3 - Залежності для підрахунку сталих К₁ та К₂ для друкованих котушок індуктивності

еквівалентного діаметра D_m котушок різної конфігурації.

Рис. 2.4 - Обчислення значень D_m еквівалентного діаметра котушок різної конфігурації