3.2. Вихідні рівняння для формування моделей на макрорівні
Вихідний математичний опис процесів в об'єктах на макрорівні представлено системами звичайних диференціальних і алгебраїчних рівнянь. Аналітичні рішення таких систем при типових значеннях їхніх порядків у практичних задачах одержати не вдається, тому в САПР переважно використовуються алгоритмічні моделі. У цьому параграфі викладений узагальнений підхід до формування алгоритмічних моделей на макрорівні, справедливий для більшості застосувань.
Вихідними для формування математичних моделей об'єктів на макрорівні є компонентні й топологічні рівняння.
Компонентними рівняннями називають рівняння, що описують властивості елементів (компонентів), інакше кажучи, математична модель елемента (ММЕ) представляється компонентними рівняннями.
Топологічні рівняння описують взаємозв'язки в складі системи, що моделюється.
У сукупності компонентні й топологічні рівняння конкретної фізичної системи являють собою вихідну математичну модель системи (ММС).
Очевидно, що компонентні й топологічні рівняння в системах різної фізичної природи відбивають різні фізичні властивості, але можуть мати однаковий формальний вид. Однакова форма запису математичних співвідношень дозволяє говорити про формальні аналогії компонентних і топологічних рівнянь. Такі аналогії існують для механічних поступальних, механічних обертальних, електричних, гідравлічних (пневматичних), теплових об'єктів. Наявність аналогій приводить до практично важливого висновку: значна частина алгоритмів формування й дослідження моделей у САПР виявляється інваріантною й може бути застосована до аналізу проектованих об'єктів у різних предметних областях. Єдність математичного апарата формування ММС особливо зручно при аналізі систем, що складаються з фізично різнорідних підсистем.
У перерахованих вище застосуваннях компонентні рівняння мають вигляд:
|
(3.1) |
топологічні рівняння:
|
(3.2) |
де
— вектор фазових змінних,
— час.
Розрізняють фазові змінні двох типів, їхні узагальнені найменування — фазові змінні типу потенціалу (наприклад, електрична напруга) і фазові змінні типу потоку (наприклад, електричний струм). Кожне компонентне рівняння характеризує зв'язки між різнотипними фазовими змінними, стосовними до одного компонента (наприклад, закон Ома описує зв'язок між напругою й струмом у резисторі), а топологічне рівняння – зв'язку між однотипними фазовими змінними в різних компонентах.
Моделі можна представляти у вигляді систем рівнянь або в графічній формі, якщо між цими формами встановлена взаємно однозначна відповідність. Як графічна форма часто використають еквівалентні схеми.
Нижче розглянемо приклади компонентних і топологічних рівнянь для різних типів систем.
3.3. Механічні системи
Фазовими змінними в механічних поступальних системах є сили й швидкості. Використовують одну із двох можливих електромеханічних аналогій. Надалі будемо використати ту з них, у якій швидкість відносять до фазових змінних типу потенціалу, а силу вважають фазовою змінною типу потоку. З огляду на формальний характер подібних аналогій, рівною мірою можна застосовувати й протилежну термінологію.
Компонентне рівняння, що характеризує інерційні властивості тіл, у силу другого закону Ньютона має вигляд:
|
(3.3) |
де
—
сила;
—
маса;
—
поступальна швидкість.
Пружні властивості тіл описуються компонентним рівнянням, яке можна одержати з рівняння закону Гука. В одномірному випадку (якщо розглядаються поздовжні деформації пружного стрижня):
|
(3.4) |
де
— механічна напруга;
— модуль пружності;
— відносна деформація;
— зміна довжини
пружного тіла під впливом
.
З огляду на, що
,
де
— сила,
— площа поперечного переріза тіла, і
диференціюючи (3.4), маємо:
або
|
(3.5) |
де
—
жорсткість (величину, зворотню жорсткості,
іноді називають гнучкістю
),
—
швидкість.
Диссипативні властивості в механічних системах твердих тіл виражаються співвідношеннями, що характеризують зв'язок між силою тертя й швидкістю взаємного переміщення тіл, причому в цих співвідношеннях похідні сил або швидкостей не фігурують.
Топологічні рівняння характеризують, по-перше, закон рівноваги сил: сума сил, прикладених до тіла, включаючи силу інерції, дорівнює нулю (принцип Даламбера), по-друге, закон швидкостей, відповідно до якого сума відносної, переносної й абсолютної швидкостей дорівнює нулю.
У механічних обертальних системах справедливі компонентні й топологічні рівняння поступальних систем із заміною поступальних швидкостей на кутові, сил – на обертальні моменти, мас – на моменти інерції, жорсткостей – на обертальні жорсткості.
Є істотна відмінність у моделюванні електричних і механічних систем: перші з них одномірні, а процеси в других часто доводиться розглядати у двох- (2D) або тривимірному (3D) просторі. Отже, при моделюванні механічних систем у загальному випадку в просторі 3D потрібно використовувати векторне зображення фазових змінних, кожна з яких має шість складових, відповідним шести ступеням свободи.
Однак відзначені вище аналогії залишаються справедливими, якщо їх відносити до проекцій сил і швидкостей на кожну просторову вісь, а при графічному зображенні моделей використовувати шість еквівалентних схем – три для поступальних складових і три для обертальних.