§ 5. Множення цілих невід’ємних чисел. Основні властивості множення

Множення натуральних чисел. Означення множення натуральних чисел можна дати на основі поняття декартового добутку множин. Нагадаємо, що декартовим добутком А X В множини А на В називаєтьея множина всіх впорядкованих пар (a,b) перша компонента яких а наложить множині А: а А, а друга b належить множині В: b В.

Нехай A містить п елементів: А = {a₁,a₂,…a_n} а В — т елементів: В = {b_1,b₂,…b_n}. Тоді

д екартів добуток має элементів m+m+…m=m^.n

п

Означення1. Число елементів декартового добутку п-елементноі яножини А на т-елементну множину В називається добутком нату­рального числа п на натурально число т.

інакше, т • п — це сума п натуральних чисел, кожне із яких є т.

Візьмемо п скінченних еквівалентних між собою множин без спільних елементів, кожна з яких характеризується кількісним натуральним числом т. 06'єднаємо ці множини в одну множину S, що є їх сумою: S =А₁  А₂ А_3… А_n

Позначимо кількісне число, що характеризуе множину S, через s;

т оді за означениям суми натуральних чисел матимемо s = m+m+…m або s=m^.n

n доданків

Означення 2. Суму n доданків, кожен із яких є m називають добут­ком натурального числа m на число n.

Поняття добутку вводять у другому класі на конкретних множинах. Перед учнями ставлять, наприклад, задачу: «Зошит коштує 2 к. Скільки коштує 9 таких зошитів?»

Записавши результат за допомогою суми 2+2+2+2+2+2+2+2+2== 18 (к.),

з'ясовують, що такий запис дуже громіздкий і обчислення виконувати довго і незручно навіть при такій, порівняно невеликій, кількості доданків. А що коли б потрібно було визначити вартість 25 зошитів або 75? Тому умовились додавання рівних доданків вважати окремою дією — множенням — і записувати коротше: 2^.9== 18.

Після цього поступово складають таблицю множення (тобто мно­ження одноцифрових чисел), яку діти заучують.

Числа при множенні називаються: множене — т, множник — п і добуток —т • п. Результат множення р == т ^. п також називають добутком. Разом т і п називаються співмножниками, а у початкових класах — просто множниками.

Таке означення множення неважко поширити на випадок трьох, чотирьох і більше співмножників.

Оскільки доданків не може бути менше ніж два, то добутки т • 1 і т • 0 не мають даного смислу. Адже не можна сказати т взяти доданком 1 раз» або «нуль раз». Тому для цих випадків вводять додаткові означення: а ^. 1 = а і а ^. 0 = 0

Дія множення натуральних чисел мае такі властивості:

1. Існування добутку і єдиність добутку. Які б не були натуральш числа а і b, завжди існує єдине натуральне число р, що є їх добутком. (a, bN pN ) ab= p

2. Переставний, або комутативний, закон множення. Добуток двох натуральних чисел не зміниться. якщо переставити співмножники (поміняти їх місцями): (a, bN) (ab= ba)

У школі ця властивість розглядаеться у другому класі. На основі неї складається таблиця множення, що дає змогу вдвоє зменшити кількість добутків однозначних чисел, які треба учням запам'ятати. Так, учні замість двох випадків 4 • 3 == 12 і 3 • 4 == 12 запам'ятовують по суті один 4 • 3 == 12.

Обгрунтовують цей закон учням на конкретних доцільно підібраних задачах та за допомогою наочної ілюстрації.

Задача. Учні посадили біля школи 3 рядки дерев по 4 дерева в кожному. Скільки всього дерев посадили учні?

З образивши кожне дерево кружечком, дістають схему розміщення посаджених дерев,

О О О О

О О О О 3

О О О О

4

Підраховують двома способами: по рядках 4 • 3 == 12, а потім по стовп­чиках 3 • 4 = 12.

Роблять висновок: 4• 3==3• 4, який після розгляду кількох інших прикладів узагальнюеться.

3 Сполучний, або асоціативний, закон множення. Добуток натуральних чисел не зміниться, якщо будь-які два або кілька співмножників сполучити (об'еднати) і замінити іх добутком. Наприклад, для трьох співмножників (a, b, сN) (abс= (аb)с=а(bс)

У початкових класах ця властивють розглядаеться також на конкретних задачах.

Задача. Щоб виростити саджанці дуба, діти посадили жолуді. Скільки штук жолудів вони витратили на посадку, якщо в кожну ямку клали по 3 жолуді, а ямки розмістили по 4 у 5 рядочках?

Розв'язання задачі виконують двома способами за допомогою наоч­ної ілюстрації.

1. Дізнаються, сюльки жолудів витрачали на один рядок (3 • 4), а потім на 5 рядків: (3•4)•5=60.

2) Дізнаються, сюльки всього ямок (4 • 5), а потім, скільки витрачено жолудів: 3 • (4 • 5) = 60.

Аналогічно підраховують кількість учнів у класі, якщо, наприклад, у класі 3 ряди парт, по 5 парт у кожному ряду і за кожною партою сидить по 2 учні: (2 • 5) • 3 = 2 • (5• 3) =30.

учиів в всього парт

одно­му ряду

Роблять узагальнення. Цей закон разом із комутативним законом множення у початкових класах широко використовують для рацюналізації обчислень. Наприклад:

4 . 17 • 25 == (4 • 25) • 17 == 100 • 17 == 1700, 5 • 39 • 2 = 39 • (2 • 5) = 39 . 10 = 390.

Наслідки із комутативного і асоціативного законів множення.

1) Для того щоб помножити добуток натуральных чисел на натураль­не число обо навпаки. число на добуток, досить помножити на це число один із співмножників і добутий результат помножити на інший ствмножник і т. д.

(аbс) • d = ((аd) b) с = ((bd) а) с = {(сd) • а) b i т. д.

У початкових класах це правило обгрунтовуеться на конкретних прикладах і використовуеться при обчисленнях.

Наприклад: а) 18 (4 • 25) = 18 • 100 = 1800 — тут простое спочатку обчислити добуток.

б) 25 • (18 • 4) = (25 • 4) • 18 = 100 • 18 = 1800 — тут простіше застосувати перше правило.

2) Для того щоб помножити добуток на добуток, досить один із співмножників першого добутку помножити на будь-який ствмнож­ник другого добутку, добутий результат помножити на шший ствмножник одного із добутків I т. д.. обо перегрупувати співмножники для зручності обчислень у будь-якому порядку.

У початкових класах ця властивють використовуеться при усних обчисленнях. Наприклад:

(4 • 12) (25 • 3) = (4 • 25) (12 • 3) = 100 • 36 == 3600;

(8 • 37) (125 • 3) = (8 • 125) (37 • 3) = 1000 .111=111 000.

3) Якщо один із співмножників збільшити у кілька разів, то і до­буток збільшиться у стільки ж разів: (аm = с) => ((ат) b = ст).

У третьому класі ця властивість ілюструеться на задачах про площу прямокутників.

Задача 1. У юннатів квітами зайнято дві ділянки прямокутноії форми однакової довжини. Ширина першої ділянки 10 м, а її площа 400 м². Ширина другої ділянки 30 м. Яка площа другої ділянки?

За відповідним рисунком учні роблять висновок, що коли ширина прямокутника збільшилась у 3 рази, а довжина не змінилась, то пло­ща його в 3 рази збільшилась.

Задача. 2. Ширина прямокутника 4 см. Чому дорівнюе площа прямокутника, якщо його довжина 6 см? 12 см? 16 см?

У скільки разів збиьшиться площа прямокутника, якщо його ши­рину залишити без зміни, а довжину збільшити в кілька разів.

У скільки разів збільшиться довжина прямокутника, якщо його площу збільшити у кілька разів, а ширину залишити такою ж?

4 Розподільний, або дистрибутивний, закон множення. Щоб помножити суму на число, досить помножити на це число кожен доданок і результати додати:

(а + b) с <=> ас + bс.

У другому класі цей закон обгрунтовуеться на конкретних задачах, які розв'язуються двома способами.

Задача. Мама купила своїм дітям шапочки і шарфики. Скільки заплатила вона за 3 шапочки і 3 шарфики, якщо шапочка коштуе 4 крб., а шарфик 2 крб.?

1й спосіб 2-й спосіб

1) (4+2) (крб.) — коштуе комп­лект шапочка і шарфик; 1)4.3 (крб.) — коштуе 3 шапоч­ки;

2) ((4 + 2) • 3) (крб.) — коштуе 3 таких комплекта 2) 2 • 3 (крб.) — коштуе 3 шар­фики;

вся покупка 3) (4 • 3 + 2 • ,3) (крб.) — коштуе вся покупка

В и с н о в о к. (4 + 2) • 3 = 4 • 3 + 2 • 3; 6 • 3 = 12 + 6, 18 = 18.

Цей закон застосовуеться в початкових класах при усних обчис­леннях. Наприклад,

(25 + 102). 4 == 25 • 4 + 102 • 4 = 100 + 408 = 508.

Наслідком із розподільного закону множення відносно суми та різниці е властивють додавання і віднімання добутків з спільним множником: ас + bс = (а + b) с, ас - bс = (а - b) с.

У молодших класах учні розв'язують задачі і приклади, використовуючи перше правило. Наприклад, обчислити найбільш рацюнальним способом:

88 • 77 + 77 • 12 = (88 + 12) • 77 == 100 • 77 = 7700, 36 • 24 + 14 • 24 = (36 + 14) • 24 = 50 • 24 = 1200.

Учні складають задачі, які розв'язуються за числовою формулою х = ас + bс та х = (а+ b) с.

5 Закон монотонност.і множення. Обидві частини рівності або нерівності на множині натуральних чисел можна помножити (або поділити) на одне і те саме число:

(a, b, с,mN) a=b <=>am=bm, a >b<=>am>bm, a<b <=> am<bm

Цей закон у початкових класах не вивчаеться, проте використо-вуеться, зокрема, при розв'язуванш рівнянь виду ах ==b.

Наприклад, якщо х : 5 = 2, то х = 2 • 5.

Наслідки із закону монотонності множення.

Властивість мультиплікативності (від латинського слова multiplikato— множення) рівностей та неріеностей: на множині натураль­них чисел рівності, а також нерівності однакового смислу (знака) мож­но почленно перемножити.

1 Якщо а = b 2) Якщо а > b 3) Якщо а < b

i с=d, i c>d с<а,

то ас =bd. то ас >bd. то ас < bа.

Слід пам'ятати, що а, b, с, d, є натуральними числами. Нерівност з ввід’ємними членами, взагалі кажучи, не можна почленно перемножати: в одних випадках знак нерівності зберігаеться, в інших — змінюеться на протилежний.

Теорема і. Добуток, натурального числа а на 1 дорівнюе самому чис­лу а, тобто а • 1 = а.

Означення. Добуток п співмножнишв (де п — натурально число биьше за 1), кожен з яких дорівнюе а (де а—будь-яке натуральна число), називаеться п-м степенем числа а.

Одержання п-го степеня числа а за даними натуральними числами а і п називаеться піднесенням натурального числа до степеня з нату­ральним показником.

п-й степінь числа а записуеться аⁿ (а називаеться основою, п — показником степеня).

Означення. Першим степенем натурального числа а називаеться саме число а,

тобто а¹ = а.

Властивості степеня.

1 Властивість існування і єдиності: які б не були натуральні числа а і п, завжди існуе єдине натурально число аⁿ, що являе собою п -й степінь числа а.

2. При множенш степенів однаковоі основи показники степенів додають: аⁿ • а^k == а^n+k.

3. Властивість дистрибутивності відносно множення: степінь добутку дорівнюе добутку степеysв, тобто (а • б) ⁿ = аⁿ • bⁿ

4 При піднесенні степеня до степеня показники степенів перемножають, тобто (аⁿ) ^k = а^nk

5 Властивість,монотонності: якщо а > 1 і п > k то аⁿ > а^k

Приклад. Записати найбільше число трьома дев'ятками.

Розв'язання. Звичайно, це буде не 999, як шоді думають, і не 99^е або 9^е9, і не (9⁹)⁹ == 9^8і, а ₉9⁹

Множення нуля і множення на нуль. Якщо вводити означення че­рез поняття декартового добутку множин, то:

а) 0 • а = 0, бо  х А = ;

б) а • 0 = 0, бо А х = ;

в) 0 • 0 = 0, бо х = .

Якщо виходити \з означення множення як додавання рівних до-данків, то множення нуля на число матиме той самий смисл:

О • а = 0 + 0 + ••• +0=0. Отже, 0 • а = 0.

а доданюв

Щодо множення будь-якого числа а на нуль, то цей випадок по-требуе спещального означення (як і множення на 1), осюльки немае смислу говорити про «повторения числа а доданком 0 раз».

Означення. Добуток будь-якого натурального числа на нуль до-рівнюе нулю:

а • 0 = 0.

Доцільність такого означення можна пояснити учням двояко. 3 одного боку, дощльшстю зберегти переставну властивють множен­ня на випадок, коди один із сшвмножниюв е нуль:

а • 0 = 0• а =0

3 другого — можна взяти задачу із сталим множеним і змінювати множник, надаючи йому щоразу на одиницю меншого значения.

Задача. Швидюсть шшохода 5 км/год. Яку вздстань вш пройде за 4 год? за 3 год? за 2 год? за-1 год? за 0 год?

Можна скласти таблицю.

Швидюсть (км/год)	5	5	5	5	5
Час (год)	4	3	2	1	0
Відстань (км)	5.4=20	5.3= 15	5.2= 10	5.1 =5	5.0=0

Зіставляючи дані таблиці, учні бачать, що при зменшенні часу на 1 год вадстань щоразу зменшуеться на 5 км. Отже, дощльно зберегти цю закономіршсть, оскільки за змістом задача одна і та сама для всіх значень часу, якщо час руху дорівнюе нулю, то и пройдена відстань за цей час дорівнюе нулю, тому за загальною формулою шляху мати-мемо 0 == 5 • 0,

тобто 5 • 0 = 0; взагалі а • 0 = 0.

При формальному його введенш на практиці можна зустріти помилку типу: «5 • 0 = 5, бо нуль — це нічого, а коли 5 помножити на ницо, то так 5 і залишиться». Трапляються и шшого роду помилки в міркуваннях: «О • 5 = 0, а 5 • 0 = 5, бо коли на вікні лежать 5 яблук \ я візьму їх 0 раз, то вщ цього вони нікуди не дінуться, їх так і буде 5».

Насправді ж тут міркування мае бути таким: «якщо на вікні ле­жать яблука і я візьму там 2 рази по 5 яблук, то в мене буде 10 яблук, якщо візьму 1 раз 5 яблук, то матиму 5 яблук, якщо ж візьму 0 раз по 5 яблук (тобто жодного разу не візьму), то в мене и не буде жодного яблука (всі вони залишаться на вікні)».

Щоб учні добре засвоїли випадки множення з нулем, потрібно шдкреслити, що переставна властивість множення мае місце і у випадку, коли один із множниюв е нуль:

0. а=а. 0=0,

розв'язувати з ними вправи.Наприклад:

1. 49 • 38 • (45 — 9 • 5); 2) (123 — 48) • 0 • 84 • 246

Піднесення нуля до степеня з натуральним показником. Узагальнюючи означення степеня на випадок, коли основа нуль, матимемо:

Оⁿ = 0 • 0 • ... .0=0.

п співмножників

Отже, Оⁿ == 0, де n є N.

Означення. Будь-яке натурально число в нульовому степень дорів-нюе одинищ: а⁰ == 1.

ВПРАВИ: В.Кухар ст. 187-188