3. Властивість монотонності додавання.

Якщо А ~ В, то A  M ~ B  M Якщо а = b, то а + т = b + т.

при умові, коли А, В і М інакше (a, b, mN₀ ) (а = b)

скінченні і A M = ; B M = ;  а+т= b +т.

На основі властивості монотонності рівності можна довести і властивість монотонності для нерівностей:

а) якщо а> b, інакше (a, b, mN₀ ) а> b 

то а + m > b + m;  a + m > b + m.

б) якщо а< b,

то а + m <b + m; a < b  a + m < b + m.

Доведемо цю властивість для випадку а). Якщо а> b, то за означенням порівняння натуральних чисел а = b + k, де k N _,тоді за властивістю монотонності рівності

а + т = (b + k) + т = (b + т) + k (за комутативним і асоціативним законами додавання). Звідси а + т > b + т (за означенням порівняння натуральних чисел).

3. Властивість адитивності

а) Якщо А ~ В, і C ~ D, i A C = Якщо a = b i c = d,

= B D = ; то a + c = b + d

то A  C ~ B  D інакше (a, b, c, d N₀ ) (а = b  c = d ) 

 ( a + c = b + d )

Справді, оскільки об'єднання Правильні рівності, задані на множині цілих A  C A  C містить усі елементи невід'ємних чи­сел, можна почленно додавати (при множини A і C , а B  D всі цьому рівність не порушується).

елементи відповідно еквівалентних

їм множин, то і між множинами-

об'єднаннями існує взаємно

однозначна відповідтсть.

На основі цієї властивості можна довести властивість адитивності для нерівностей: правильні нерівності одного смислу задані на множині цілих невід’ємних чисел, можна почленно додавати:

а) Якщо а > b інакше (a, b, c, d N₀ )

i с > d (а > b /\ с >d) <=>(а + с > b + а),

то а + c >b + d (а < b /\ с < d) <=>(а + с < b + а).

б) Якщо а< b i c < d , то a + c < b + d

Доведемо цю властивість для випадку а):

Якщо а > b то а = b + k; якщо с > d, то c = d + l; тоді за властивістю адитивності рівності матимемо а + с =( b + k)+ (d+ I) = (b + d) + (k + l).

А це означає, що а +с > b + d

А чи можна почленно додавати нерівності різного (протилежного) смислу (знака)?

Розглянемо два приклади:

1) 5 > 3 2) 5 > 3

+ 9 < 10 + 7 < 10

5 + 9 > 3 + 10 5 + 7 < 3 + 10

14 > 13 12 < 13

В одному випадку при додаванні таких правильних нерівностей, щоб дістати правильну нерівність, треба поставити знак першої нерівності, в другому — другої, а це означає, що не для всяких нату­ральних чисел а, b, с і d , таких що а > b і с> d, існує певна закономірність при почленному додаванні нерівностей. Саме це робить доцільним у попередніх випадках застосовувати квантор загальності.

Висновок. Нерівності протилежного смислу (правильні), взагалі кажучи, додавати почленно не можна, бо не відомо, який з двох знаків «>» чи «<» слід поставити після додавання, щоб дістати правильну нерівність.

Вправи.

1. У чому суть кількісної функції натурального числа?

2. Що означає 0 < 2 ? Обгрунтувати справедливість нерівностей 1< 2, 1 < 3.

3. Обгрунтувати властивості цілих невід’ємних чисел, користуючись тільки порядковим смислом чисел послідовності N_{0 .}

4. Виконати обчислення найзручнішим способом: 198 + 237 + 102.

4. Знайти суму всіх натуральних чисел від 1 до 99.

6. Об’єднати відношення " менше " і " дорівнює " та сформулювати твердження для а  b.