Властивості натуральних чисел, що випливають із властивостей множин.

Із означення еквівалентності множин та поняття кількісного натурального числа випли­вають такі властивості.

1. В ластивість рефлективності рівності і анти­рефлексивності нерівності.

Кожна множина еквівалентна самій собі, тобто А ~ А.

А  А.

К ожне натуральне число рівне самому собі, тобто а = а; а < а — неправильно, що а < а.

2. Властивість симетричності рівності і несиметричності нерівності.

якщо А ~ В, то В ~ А; якщо а = b, то b = а;

якщо А  В, то В  А. якщо а<. b, то b >а.

3. Властивість транзитивності рівності і нерівності.

Якщо А ~ В, а В ~ С, то А ~ С. Якщо а = b і b = с, то а == с.

Якщо А  В, а В  С, то А  С. Якщо а< b і b <с, то а<с.

§ 2. Властивості множини натуральних чисел. Число нуль. Множина цілих невід'ємних чисел.

Як відомо, ряд чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... називається натуральним рядом чисел. Множина цих чисел називається множиною натуральних чисел і позначається буквою N.

N = 1, 2, 3, 4, 5, ... . Натуральний ряд чисел починається з одиниці. Щоб розглянути інші властивості множини натуральних чисел, спочатку введемо поняття щільності множини і дискретності.

Означення. Упорядкована множина називається щільною, якщо для будь-яких двох її елементів а і b, де b слідує за а, завжди існує принаймні один проміжний елемент с, який слідує за а і передує b. Упо­рядкована множина називається дискретною, якщо не для кожної пари її елементів а і b існує проміжний елемент.

Приклад 1. Упорядкована множина всіх точок прямої буде щільною: для будь-яких її точок К і L завжди існує принаймні одна проміжна точка М — середина відрізка К L.

Приклад 2. Упорядкована множина будинків вулиці дискрет­на: між двома сусідніми будинками немає ніякого третього.

Множина натуральних чисел — упорядкована. Домовимося відносно будь-яких двох нерівних натуральних чисел вважати, що менше число передує більшому, а більше слідує за меншим. Вище було по­казано, що для відношень «менше», «більше» має місце властивість транзитивності, тим самим установлено, що множина натуральних чи­сел є упорядкованою множиною.

Розміщуючи елементи цієї множини так, щоб із двох натуральних чисел (а і b) більше завжди слідувало за меншим, дістанемо послідовність 1, 2, 3, 4, 5, ..., яку називають натуральним рядом чисел.

Множина натуральних чисел є дискретна. Не для всяких двох її елементів існує проміжний елемент. Наприклад, немає натурального числа, яке було б проміжним між числами 2 ; 3, 5 і 6 і т. п., тобто між будь-якими сусідніми натуральними числами.

Множина натуральних чисел — нескінченна. Не існує найбільшого натурального числа, бо яке б не взяти натурально число а, за ним слідуватиме безпосередньо наступне число а', яке буде кількісною ха­рактеристикою множини А', утвореної із множини А приєднанням до неї ще одного елемента.

Властивість нескінченності множини натуральних чисел випливає ще й з того, що множина натуральних чисел еквівалентна своїй власній підмножині, наприклад, множині парних чисел:

N = { 1, 2, 3, 4, .... а, ...};

N₁ ={ 2, 4, 6, 8, .... 2а, ...}.

Для характеристики порожньої множини вводиться число нуль, яке позначається, як відомо, знаком 0. Слово «нуль» походить від латинського nulus — ніщо, порожній. Нуль не є натуральним числом. Воно не має всіх властивостей натуральних чисел і, навпаки, має ряд специфічних властивостей, яких не мають натуральні числа. Ці особливості числа нуль розглянемо при вивченні арифметичних дій. Множину, що утворюється приєднанням до множини натураль­них чисел N одноелементної множини {0}, називають множиною цілих невід'ємних чисел і позначають N₀.

Нуль у цій множині ставлять перед числом 1.

Отже, упорядкована множина N_{0 =} {0, 1, 2, 3, 4, ...} називається множиною (або послідовністю) цілих невід'ємних чисел.

Цілком очевидно, що множина цілих невід'ємних чисел має всі три властивості, що і натуральний ряд чисел: це множина упорядкована, дискретна і нескінченна. Ці властивості наочно добре уявити за допомогою числового променя, початку якого відповідатиме число нуль, і при вибраній одиниці масштабу кожному натуральному числу відповідає одна (єдина) точка променя, але не кожній точці променя відповідає натуральне число . Так, між точками, що відповідають числам 2 і 3, є безліч точок, яким відповідають інші ненатуральні чис­ла (дробові, ірраціональні). Нескінченність множини цілих невід'ємних чисел також наочно підтверджується нескінченністю променя.

_| ^{0 1}_| ²_| ³_| ⁴_| ^х

вправи

1 . Записати довільну множину, яка рівнопотужна множині ребер куба; граней куба; вершин куба. Скільки елементів має кожна з цих трьох множин? Яке співвідношення між цими числами? Перевірити його істинність для довільної призми; піраміди.

Відповідь. Співвідношення виражає знамениту теорему Ейлера: «У будь-якому многограннику число ребер на 2 менше суми чисел граней і вершин».

2. Чи будуть рівнопотужними множина натурального ряду N і множина дробів

вигляду 1/n, де n  N?

3. За ілюстрацією до казки «Ріпка» («Математика» для підготовчих класів) підібрати систему запитань, які доцільно поставити учням для усвідомлення ними суті аксіоми лічби і попередження помилки змішування понять кількісного і поряд­кового натурального числа.

3. Записати всі елементи множин N₅, N₁. Як називаються ці множини?

3. Яких правил треба дотримуватися під час лічби елементів скінченної множини?