§ 8. Ознаки подільності суми, різниці, добутку, частки та їх наслідки.

Іноді треба визначити, чи ділиться на число певний числовий вираз, не обчислюючи його значения. Розглянемо таку задачу: у вчительки є 25 зошитів у клітинку і 40 в лінійку. Чи можна розділити всі ці зошити між п'ятьма учнями порівну?

Для того щоб розв'язати задачу, немає потреби обчислювати суму 25 + 40 і потім 65 ділити на 5, адже відразу видно, що можна спочатку роздиити між п'ятьма учнями порівну 25 зошитів у клітинку, а потім 40 зошитів у лінійку.

А що коли у клітинку буде 28 зошитів, а в лінійку 37? Очевидно, задача має розв'язок, оскільки загальна кількість зошитів не зменшилась, проте тепер уже розділити порівну окремо зошити в клітинку і в лінійку не можна.

А що коли в клітинку буде 25 зошитів, а в лінйку 37? Тепер, оче­видно, задача не матиме розв'язку.

Є ознаки, які дають змогу, не обчислюючи результату, дізнатися, чи ділиться на певне число сума, різниця, добуток або частка.

Теорема 1 (достатня ознака подільності суми). Якщо кожен з доданків а₁, а₂, …а_n ділиться на деяке натуральне число b, то і їхня сума ділиться. на b:

(а₁ b) /\ (а₂ b)/\…/\(а_n b) (а₁+ а₂+ …+а_n) b, де а_і    b 

Теорема 2. Якщо один з двох доданків ділиться на число, то, щоб сума їх ділилася на це число, необхідно і достатньо щоб і другий дода­нок ділився на це число.

Теорема 3. Якщо зменщуване і від'ємник діляться на натуральне число b, то і різниця їх ділиться на b:

Наприклад:

1) Якщо 45 9 і 18 9, то (45 — 18) 9; справді, 27: 9= 3

2) Якщо 224 4 і 48 4, то (224 — 48) 4. Отже, 176 4.

3) 54 — 4 = 50; 50 5, але 54 не 5 і 4 не 5,

Наслідки з теорем 1—3.

1) Якщо у рівностях а₁ + а₂ =а₃ і а₁ - а₂ =а₃ два з чисел а₁, а₂, а₃ ділять­ся на b, то і трете з цих чисел ділиться на b.

2) Якщо у рівностях а₁ + а₂ =а₃ і а₁ - а₂ =а₃ одне з чисел ділиться на b, а друге не ділиться, то і трете не поділиться на b.

3) Якщо у сумі а₁ + а₂ …+ а_n всі доданки, крім одного, діляться на число b то, щоб сума ділилася на b, необхідно і достатньо щоб і той доданок ділився на b.

Розглянуті наслідки широко використовуються на практиці для встановлення подільності одного числа на друге.

Приклад 3. Не виконуючи ділення, встановити, чи ділиться:

1) 204 на 17; 2) 328 на 14; 3) 272 на 13 і 4) 177 на 19.

Р о з в' я з а н н я.

1) 204 = 170 + 34; 170 17  34 17 => 204 17;

2) 328 = 300 + 28; 28 14  300 не 14 => 328 не 14;

3) 272 = 260 + 12; 260 13  12 не 13 => 272 не 13;

4) 177 = 190 — 13; 190 19  13 не 19 => 177 не 19.

Теорема 4 (про подільність добутку). Якщо хоч один із співмножників ділиться на деяке число, то і добуток іх ділиться на це число:

a b => an b де a,n,b N ( це лише достатня умова)

? Чи будуть істинними висловлення:

1) «Якщо ділене і дільник діляться на певне число, то і їх частка ділиться на це число»?

2) «Якщо при діленні з остачею ділене і дільник діляться на певне число, то і остача ділиться на це число»?

Відповідь. 1) Ні. Досить навести контрприклад: 426=7; 42 2  6 2, але 7 не 2.

2) Так. Довести це твердження, виходячи з рівності

а =bq + r, де 0  r < b.

Наслідок. Якщо якесь натуральне число а можна подати у вигляді добутку натуральних чисел р₁, р₂, ..., р_n так, що хоч деякий із цих співмножників ділиться на b, то і число а ділиться на b.

Наприклад: 1) 72 4, бо 72 = 8 • 9, а 8 4;

2) 156 13, бо 156 = 3 • 52 =3 • 2 • 26, а 26 13.

Наслідками із теорем про подільність є відомі із школи ознаки подільності чисел.

Ознаки подільності на 2 і 5; 4 і 25; 8 і 125.