9; Педагогічний коледж. ТОПКМ. Кульчицька Д.І.

Цілі невід'ємні числа . Операції над ними.

§ 1. Походження числа. Аксіома лічби. Історія розвитку натуральних чисел.

Для встановлення чисельності скінченної множини на практиці доводиться виконувати лічбу її елементів. Процес лічби полягає у встановлені взаємно однозначної відповідності між всіма елементами множини і елементами деякої стандартної множини. Спочатку за таку стандартну множину брали пальці рук, а потім і ніг1) числами, почали використовувати камінці, робили вузли на вірьовці і зарубки на дереві тощо. Значно пізніше поступово стандартною множиною стала абстрактна множина чисел натурального ряду.

Деякі народи ще до недавнього часу лічили за допомогою пальців. Видатний російський учений і мандрівник Міклухо-Маклай (1846— і888) так описує лічбу папуасів — жителів островів Нової Гвінеї. «Улюблений спосіб лічби полягає в тому, що папуас загинає один за одним пальці руки, примовляючи «бе, бе, бе...». Долічивши до п'яти, говорить «ібон-бе» (рука). Потім він загинає пальці другої руки і знову повторює «бе, бе, ...», поки не дійде до «ібон-алі> (дві руки). Потім він іде далі, примовляючи «бе, бе ...», поки не дійде до «самба-бе» (одна нога) і «самба-алі» (дві ноги). Якщо треба лічити далі, папуас користується пальцями рук та ніг кого-небудь іншого» ¹.

Ще в XIX ст. деякі американські індійці при лічбі замість «один» говорили «палець», замість «два» — «два пальці» і обов'язково показували їх, замість п'ять — «рука», шість — «рука і один палець» і т. д. Ескімоси із Північної Канади замість 20 говорили «людина», замість 100 — «5 чоловік». Деякі індійські племена в Бразилії лічили тільки до п'яти, а все, що більше п'яти, в них означало «багато», причому, показуючи, що число більше п'яти, вони ворушили на голові волосся. В Австралії були племена, у яких для лічби використовувалися лише два числівники — один і два, а число 3 називали як два-один; 4 — два-два; п'ять — два-два-один і т. д.

Аналогічно лічили і наші предки. Ідея нескінченності натурально­го ряду чисел освоювалася дуже повільно: найбільшим числом було спочатку 3, потім 7, далі і.3, пізніше — 40. Звідси різні приказки і числові марновірства: «тричі благословенний», «тричі проклятий», «сім раз відмір, раз відріж», «один з сошкою, семеро з ложкою», «за кусок кишки — сім верст пішки», «13 — чортова дюжина» (багато). Ще і тепер марновірні люди число 13 вважають нещасливим і уникають його. В царській Росії не було тринадцятого номера трамваю, в Лондоні і тепер немає будинків за номером тринадцять, є «клуб боротьби з числом 13». Сороковий медвідь вважався останнім у житті мисливця.

I хоч ще в III ст. до н. е. знаменитий грецький геометр Евклід довів, що навіть множина простих чисел є нескінченною, окремі ма­тематики не хотіли сприймати ідею нескінченності натурального ряду. Так, відомий французький математик XIX ст. Коші твердив, що «один бог нескінченний, крім нього все скінченне. Духовні істоти і істоти тілесні перебувають у скінченному числі, і світ має свої межі у просторі і часі. Нескінченність, вічність є божественні ознаки, притаманні лише творцеві...». А італійський математик Гранді (XVIII ст.) намагався використати ідею нескінченності для «доведення» існування бога і створення богом матеріального світу з нічого.

Суть цього «доведення» зводить до таких міркувань:

С

1. + (1-1) + (1-1) +…= 0

1+ (-1 + 1) + (-1 + 1) +…= 1

ума 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - …= _

Звідси виходить, що 0=1, але нуль — це «нічого», а 1 — ціле, «все». Отже, «бог з нічого отворив все».

В основі цього софізму лежить механічне поширення властивостей скіченних множин на множини нескінченні, які мають свої особливості: адже тільки нескінченна множина може бути еквівалентна своїй правильній частині. Потужність нескінченної множини не може бути виражена ніяким натуральним числом. Для характеристики нескінченних множин вводяться так звані транс фінітні числа .

Поняття нескінченності дуже багате за змістом і має свої особливості. Його не можна ототожнювати з поняттям «багато» і поширювати на нього властивості скінченного. «Багато» елементів, як би не було їх багато, завжди можна полічити, принаймні теоретично можливо поставити у відповідність цілком певне натуральне число. Полічити ж всі елементи нескінченної множини не можна навіть теоретично. Ідея нескінченності натурального ряду довго не могла увійти в науку ще і через те, що не було зручної системи нумерації.

У мовах різних народів є два види числівників, за допомогою яких ведеться лічба: кількісні і порядкові.

Кількісні числівники характеризують чисельність скінченної мно­жини і дають відповідь на запитання: скільки елементів містить мно­жина? Порядковий числівник вказує, яке місце при лічбі займає той чи інший елемент множини, і відповідає на запитання: яким по порядку буде той чи інший елемент?

Назва чисел заложить не тільки від тієї чи іншої мови, на якій ведеться лічба, а і від прийнятої системи нумерації.

Що ж до результату лічби, то він не заложить ні від мови, ні від системи нумерації, ні від порядку перелічування предметів. У цьому суть аксіоми лічби.

Аксіома лічби. Результат лічби не залежить від порядку лічби (якби тільки при лічбі не було пропущено жодного предмета ; щоб кожен предмет полічено тільки один раз). Ця аксіома інакше виражає властивість рефлексивності множин: всяка множина еквівалентна самій собі.