1.4. Формула непосредственного подсчёта вероятностей

Пусть – пространство элементарных событий некоторого испытания, причём . Событие А в опыте происходит тогда и только тогда, когда наступает элементарное событие из некоторого подмножества . Требуется найти вероятность события А.

Поскольку событие А представляет собой сумму попарно несовместных событий , то в силу аксиомы сложения

,

где . События попарно несовместны и образуют полную группу, поэтому , т.е. , откуда получаем формулу , где n – общее число элементарных событий, m – число элементарных событий, благоприятствующих появлению события А.

Полученная формула называется формулой непосредственного подсчёта вероятностей, а соответствующее ей определение вероятности называется классическим. Данная формула применима только в тех ситуациях, когда пространство элементарных событий конечно и соответствующие события равновероятны. Одинаковая вероятность элементарных событий устанавливается на основе их симметрии в том или ином смысле.

1.5. Формула геометрической вероятности

Пусть пространство элементарных событий  некоторого испытания бесконечно и может быть представлено какой-нибудь геометрической фигурой (например, отрезком прямой, плоской фигурой, телом в пространстве). Будем считать, что элементарные события, соответствующие различным точкам , равновозможны, т.е. не имеют объективного преимущества одно перед другим. Тогда вероятность события А, состоящего в появлении элементарного события в некотором подмножестве , вычисляется по формуле , где и – меры множеств и  (например, длины отрезков, площади плоских фигур, объёмы тел).

Геометрическое определение вероятности является интуитивным обобщением классического определения. Вероятность каждого из элементарных событий в данной ситуации равна нулю, хотя ни одно из них не является невозможным.

1.6. Теорема сложения вероятностей

Теорема. Вероятность суммы произвольных событий А и В вычисляется по формуле

. (1)

Доказательство. Событие есть сумма несовместных событий А и , а значит, в силу аксиомы сложения

. (2)

Поскольку событие В есть сумма несовместных событий и , то

.

Подставляя полученное выражение в (2), получим равенство (1).

Равенство (1) называется формулой сложения вероятностей для двух событий А и В. Эта формула обобщается на случай произвольного числа событий. Для трёх событий А, В и С она записывается в виде

,

для n событий – в виде

.

1.7. Условная вероятность. Независимость событий. Теорема умножения вероятностей

Пусть некоторое испытание повторяется n раз, при этом событие А появляется в повторениях, событие В – в повторениях, а их произведение АВ – в повторениях. Тогда частоты событий А, В и выражаются отношениями , и . Обозначим через частоту события А в тех испытаниях, где появляется событие В, а через – вероятность события А, вычисленную при условии появления события В. Поскольку , то естественно положить . Значение представляет собой среднюю долю совместного появления событий А и В в тех испытаниях, где происходит событие В.

Пусть , тогда величина называется условной вероятностью события А относительно события В. Если , то поменяв местами события А и В, получим равенство , в котором – условная вероятность события В относительно события А. Можно показать, что условная вероятность обладает всеми свойствами обычной вероятности.

Из выражений для и следует, что при и имеет место

. (1)

Равенства (1) представляют собой формулу умножения вероятностей для двух событий А и В.

События А и В называются независимыми, если . В противном случае они называются зависимыми. Из равенств (1) следует, что для независимых событий А и В при и имеет место и .

Понятие независимости обобщается на случай произвольного числа событий: называются независимыми, если для любого набора различных индексов ( ) имеет место

.

Теорема. Вероятность произведения событий вычисляется по формуле

. (2)

Если события независимы, то

.

Приведённая теорема называется теоремой умножения вероятностей, а формула (2) – формулой умножения вероятностей для n событий.