Допущения и ограничения.

1. Идеальное вытеснение (температура меняется только по координате х, т.е. в сечении одна температура) – объект с распределенными параметрами.

2. Идеальная теплоизоляция теплообменника от внешней среды.

3. Поверхность теплообменника однородная с постоянным коэффициентом теплопередачи.

4. Теплоемкость поверхности теплообмена пренебрежимо мала по сравнению с теплоемкостью веществ.

5. Тепловой поток через поверхность теплообмена устанавливается мгновенно и перпендикулярен поверхности теплообмена.

6. Давление постоянно: P=const.

7. Нет внешних и внутренних источников энергии.

8. Стационарный процесс.

Условно выделим элементарный объем -участок трубы протяженностью Δх, диаметром d:

Рис.12

- количество тепла, подаваемое с теплоносителем

- количество тепла, подаваемое с хладагентом

- количество тепла на выходе (отбираемое с теплоносителем)

- количество тепла на выходе (отбираемое с хладагентом)

- количество тепла, которое передается в процессе теплообмена от теплоносителя к хладагенту

Температура внутри объема конечная, т.к. в выделенном объеме будет происходить идеальное смешивание.

Запишем уравнение теплового баланса.

В статическом режиме:

1. для теплоносителя

2. для хладагента

В динамическом режиме происходит изменение количества тепла внутри каждого элементарного объема:

(3) изменение количества тепла в выделенном объеме для теплоносителя

( 4) для хладагента

(5)

Где:

(6)– элементарный объем камеры с теплоносителем

(7)

(8)

(9)

V_T – объем теплоносителя, который поступает в выделенный объем за время Δt

Запишем выражение для теплового потока:

( 10)

( 11) – площадь поперечного сечения теплообменника

(12)

Подставим в уравнение (3):

(13)

Делим все на :

(14)

Теперь делим обе части уравнения на , учитывая, что

(15), получаем:

(16)

Устремляем получаем производную по t:

(17) для теплоносителя

Где: =vT - объемная скорость теплоносителя.

Для хладагента получаем аналогичную формулу:

(18)

Для статического режима все производные по времени обращаются в ноль, в результате получаем систему уравнений:

(19)

Перепишем систему в более удобном виде:

(20)

Продифференцируем 2е уравнение системы (20):

(21)

Подставим 2е уравнение системы (20) в полученное выражение (21):

(22)

Составим систему уравнений:

(23)

(24)

Выразим из уравнения (23) Tx и подставим в уравнение (24):

(25)

(26)

(27)

Характеристический многочлен:

(28)

Тогда:

(29)

Начальные условия:

(30)

(31)

Выразим Tx(x):

(32)

(33)

( 34)

Составим систему уравнений относительно С1 и С2:

(35)

(36)

(37)

(38)

Построим графики изменения температуры по длине теплообменника:

Рис.13

Задача №6.

Необходимо построить математическую модель теплообменника типа «смешение – вытеснение», схема которого представлена на рисунке 14:

Рис.14

Теплообменник представляет собой камеру, в которой происходит процесс идеального смешивания. Туда поступает теплоноситель с известной начальной скоростью. Хладагент поступает по трубке, вдоль которой происходит процесс идеального вытеснения. Идеальное смешивание – процесс, при котором параметры мгновенно становятся одинаковыми при попадании в зону идеального смешивания (температура становится конечной). Идеальное вытеснение – процесс, при котором температура меняется только по координате x.

Cp – теплоемкость теплоносителя

Cpх – теплоемкость хладагента

– температура теплоносителя на входе

– температура хладагента на входе

– температура теплоносителя на выходе

– температура хладагента на выходе

v – объемная скорость теплоносителя

vх – объемная скорость хладагента

L – длина трубки

d – диаметр трубки

- количество тепла, подаваемое с теплоносителем

- количество тепла, подаваемое с хладагентом

- количество тепла на выходе (отбираемое с теплоносителем)

- количество тепла на выходе (отбираемое с хладагентом)

- количество тепла, которое передается в процессе теплообмена от теплоносителя к хладагенту

KT – коэффициент теплопередачи

V – объем камеры