Уравнения теплопроводности и диффузии.
Пусть
рассматривается тело, температура в
точках которого характеризуется функцией
,
где x,y
и z
– координаты, t
– время. Пусть также
– плотность тела, c
– его теплоёмкость, k
– коэффициент теплопроводности.
Будем использовать следующие физические законы:
Фурье:
,
где
– плотность потока тепла.Фика:
,
где m
– масса рассматриваемого участка, Q
– его теплота.
Выделим внутренний
объём B
рассматриваемого тела с граничной
поверхностью
.
Рассмотрим изменение тепла в объёме B
с момента
до момента
.
Имеем:
.
Пусть внутри тела имеются источники и
стоки тепла, характеризующиеся плотностью
.
Тогда
будет определяться функцией F
и потоком тепла через
.
Тогда
.
Предполагая все рассматриваемые функции
непрерывными, получим:
.
Т.к.
и B
произвольны, то
.
Если
и k
– постоянные, то
,
где
– это и есть уравнение теплопроводности.
Пусть рассматривается ограниченное тело с границей S. Тогда уравнение или следует дополнить начальными и граничными условиями:
Начальные условия:
.
Граничные условия:
Задаётся температура на поверхности:
.На границе задан тепловой поток:
(
– внешняя нормаль – производная по
нормали)
.На границе происходит теплообмен с окружающей средой. Закон Ньютона: плотность теплового потока с тела в окружающую среду
,
где
– температура окружающей среды; h
– постоянная теплообмена
.
Тогда
.
Аналогичным
образом можно записать процесс диффузии
вещества. Нужно только учесть следующее:
u
– концентрация вещества, вместо закона
Фурье рассматривается закон Нернста:
,
где D
– коэффициент диффузии, а вместо закона
Фика – закон сохранения массы; коэффициент
удельной теплоёмкости при этом переходит
в коэффициент, учитывающий пористость
среды.
Задачи, приводящие к эллиптическим уравнениям
Заметим, что волновые процессы описываются уравнениями гиперболического типа, уравнения теплопроводности и диффузии – параболического типа. Во всех таких уравнениях присутствует переменная t, следовательно эти уравнения описывают нестационарные процессы. Если нас интересует решения таких уравнений, не зависящие от времени, мы получим уравнения, описывающее стационарные процессы, и эти уравнения, как правило, являются уравнениями эллиптического типа.
Рассмотрим
уравнение теплопроводности:
.
Если
,
то она удовлетворяет уравнению
или
.
Имеем уравнение, называемое уравнением
Пуассона. Если
,
то
– уравнение Лапласа. Для таких уравнений
не рассматриваются начальные условия,
а граничные условия можно просто
переписать, поскольку они ставятся
аналогично предыдущим в случае, когда
граничные функции не зависят от времени.
Например:
.
Эллиптическое
уравнение описывает и другие процессы.
Рассмотрим систему уравнений Максвелла:
.
Пусть
не зависит от t.
Тогда
.
Т.к.
,
то
;
т.к.
,
то
.
Аналогично
.
При наличии зарядов вместо уравнений
Лапласа получатся уравнения Пуассона.
При выводе
уравнений гидродинамики мы получили
уравнения неразрывности:
если рассматривается несжимаемая
жидкость, то уравнение примет вид:
,
т.е.
.