1.Классификация уравнений с частными производными в случае двух независимых переменных. Их канонический вид
В общем
случае уравнение с частными производными
второго порядка представляется в виде:
.
Если это уравнение представляется в
виде
,
то оно называется линейным относительно
старших производных.
Будем
полагать, что
.
Сделаем замену переменных:
.
Предположим, что функции
и
непрерывно дифференцируемы до второго
порядка, причём эта замена невырождена,
т.е.
.
Положим
.
Тогда
.
Подставим это в исходное уравнение
.
Здесь
.
Сделав замену переменных в исходном
уравнении, уравнении произвольного
вида, мы перешли к уравнению точно такого
же вида. Рассмотрим величину
.
После замены переменных эта величина
переходит в
(т.е.
можно сопоставить
).
Характерно, что
тогда и только тогда, когда
,
.
Классификация уравнений:
– гиперболические;
– параболические;
– эллиптические.
Если уравнение
является гиперболическим, то и уравнение
является гиперболическим, следовательно,
тип уравнения не меняется при замене
переменных. В каждом из этих случаев
можно получить канонический вид исходного
уравнения с помощью замены переменных.
Пусть , т.е. уравнение гиперболическое. Потребуем, чтобы в этом уравнении
– решение уравнения
.
Пусть
.
Этим уравнениям сопоставляются
характеристические уравнения:
,
первые интегралы которых
и
являются соответственными решениями
первого и второго уравнений. Можно
показать, что эти первые интегралы
функционально независимы. Выбираем
.
Оставшееся решение
второго уравнения выберем в качестве
.
Т.е.
.
Получаем невырожденную замену переменных,
причём
(т.к.
).
Уравнение
имеет вид:
– первый канонический вид гиперболического
уравнения. Можно получить вторую
каноническую форму гиперболического
уравнения, если положить
.
Получим:
– вторая каноническая форма
гиперболического уравнения.
– эллиптическое уравнение. Рассуждаем аналогично, но в этом случае
,
следовательно, уравнение примет вид
,
где
,
но в комплексных
и
.
Заметим, что
и
комплексно сопряжённые. Положим
и
Тогда
– каноническая форма эллиптического
уравнения.– параболическое уравнение. Как и прежде, потребуем, чтобы
.
Пусть для определённости
.
Тогда
,
т.к.
является решением уравнения
.
Пусть
,
где
– первый интеграл этого уравнения.
Тогда
.
При этом из условия следует, что
.
Выбираем
произвольно, но с сохранением условия
невырожденности (т.е. якобиан преобразования
).
Тогда
– каноническое представление
параболического уравнения.
При приведении исходного уравнения к каноническому виду приходится решать уравнения с частными производными первого порядка. Характеристики этих вспомогательных уравнений называют характеристиками исходного уравнения.
Если уравнение
приводится к виду
,
то оно называется линейным уравнением.
Здесь f
– неоднородность уравнения,
.
Если
и c
постоянны, то это уравнение называется
линейным уравнением с постоянными
коэффициентами. В этом случае заменой
переменных, как и прежде, его можно
привести к каноническому виду:
Гиперболическое:
либо
.Эллиптическое:
.Параболическое:
.
Можно сделать
замену переменных вида
либо
.
Здесь a
и b
– неопределённые параметры. За счёт их
выбора можно убрать из уравнения
дополнительно некоторые младшие члены.