7. Проста модель дослідження інфляції ї безробіття

Очевидно, що безробіття і інфляція на макрорівні мають протилежний напрям. В економіці це відображає крива Філіпса і представляється так: p=- β u+h π, β,h>0 p=dp/dt U-рівень безробіття п-інфляційні очікування. β =dp/du – чутливість інфляції до зміни безробіття h=dp/d π – чутливість інфляції до зміни інфляційних очікувань.

Припустимо що інфляційні очікування змінюються в часі за адаптивною схемою зміни, що може бути записано в наступному вигляді: п’=Ɵ(p- π) (1), Ɵ-коеф.адаптації п’=dп/dt. Зворотній вплив інфляції на безробіття можна зобразити u`=-k(μ-p) (2) Де μ – темп росту грошової маси. Іншими словами безробіття скорочується коли темп росту грошової маси випереджає інфляція. Об’єднавши рівняння і зробивши заміну отримаємо рівняння виду: п’’+а₁п’+а₂п.=b (3) Рівняння 3 показує, що залежність иіж інфляційними очікуваннями і безробіттям представлено відносно рівнів очікувань та їх змін. Загалом розв’язок рівняння (3) однорідного диференціального рівняння 2-го порядку представляють у вигляді: п(t)=A₁e^r1t=A₂e^-r2t+μ. В загальному розв’язку r1 і r2 – корені характеристичного рівняння виду r^b+a₁r+a₂=0. A₁, А₂ – сталі інтегрування, які визначаються початковими умовами задачі. Економічний аналіз розв’язку зводиться до аналізу коренів характеристичного рівняння. Якщо r₁, r₂ <0 і дійсні – то макроекономічний процес (3) є затухаючим, іншими словами, в довгостроковому періоді величина очікувань і інфляції буде визначатися швидкістю зміни грошової маси.

8. Модель оптимального вибору між інфляцією і безробіттям

Представимо криву Філіпса так: коли виробництво знаходиться на потенційному рівні (всі ресурси залучені) то безробіття знаходиться на природному рівні. В такому випадку втрати від безробіття можуть бути виражені як різниця між потенційним Q* і фактичним Q рівнем виробництва. Тоді криву Філіпса записують так: p=β(Q*-Q)+π. Інфляційні очікування змінюються за адаптивною схемою π’=Ɵ(p-π). Цільову функцію визначемо як мінімізацію втрат що викликані тим, що величина інфляції і безробіття можуть не відповідати певним нормативним значенням, що є характерними для певного взірця економічного розвитку. Таким чином критерій оптимальності запишемо як функцію втрат від інфляції і безробіття, і її можна представити так: λ=(Q*-Q)²+ap², a>0 – коефіцієнт дисконтування, параметр співмірності інфляції і втрат у виробництві. Оскільки в однаковій мірі погано, як не виробництво так і перевиробництво, то піднесення до квадрату є адекватним вирішенням проблеми знаку. Критерій оптимальності можна представити як функцію інфляційних очікувань та їх зміни. λ(π,π’)=(π/Ɵβ)²+а(π’/Ɵ+π)² (2) Функція (2) є результатом агрегації. Граничні умови задачі оптимізації задамо виходячи з того, що період часу, на протязі якого шукають оптимальне рішення вважають відомим, причому в початковий момент часу інфляційні очікування є відомі,, а в кінцевий момент часу вони повинні дорівнювати нулю. π(0)=π₀ π(t)=0. Задача оптимального поєднання інфляції і безробіття можна представити в такому вигляді: (система 3 рівнянь) λ=∫λ(π, π’)e^-atdt→min, π(0)=π_0, π(t)=0. Функціонал якості цієї задачі передбачає мінімізацію втрат на множині допустимих способів боротьби з інфляцією і безробіттям. Результатом буде траєкторія, вздовж якої поєднання інфляції і безробіття призводить до мін. втрат. Необхідною умовою розв’язку цієї задачі є існування умови Ейлера. Графічно розв’язок задачі представляє собою монотонно спадну криву на проміжку [0;T]. Економічний аналіз траєкторії оптимальних очікувань показує, що ефективна макроекономічна політика здатна впливати на інфляційні очікування (очікування бізнесу і окремих особистостей) і за певний скінченний проміжок часу може зупинити інфляцію. Застосування задач такого типу дає можливість оцінити ефективність макроекономічних рішень перед їх застосуванням.