18. Модель Вальраса

Вважатимемо що суспільство складається з 2 секторів: виробничого і споживчого. Споживчий складається з всіх індивідів суспільства, а також організацій, які не приймають безпосередньої участі у виробництві. Виробничий сектор складається з окремих галузей, фрм, а також індивідів, які виступають як виробники. Один обєкт економічних відносин може бути одночасно як виробником, так і споживачем. Товари в обігу мають двоякий характер. Одні групи товарів, продукти виробництва, можуть бути вироблені в виробничому секторі, інші ж групи товарів, первинні фактори, складаються з тих що у виробничій сфері не виробляються. Первинні фактори є власністю споживачів,які продають їх з метою придбання продуктів виробництва. Кожен споживач знаходиться в рамках своїх бюджетних обмежень, намагається отримати максимальне задоволення від вобраних продуктів. Виробники прагнуть максимізувати прибуток. Потрібно дізнатись чи існують рівноважні ціни, що попит на кожен продукт не перевищує його пропозицію. Формалізована постановка: Розглянемо економіку з l споживачами, m виробниками та n типами товарів. Виробник характеризується множиною уєR виробничих планів, а також при цінах p на товари функцією пропозиції (сукупність всіх можливих векторів виробництва товарів у к-го виробника) k=1,m. Також множина у обмежена, та неможливо виробляти у дуже великих кількостях. Кожен споживач характеризується функцією доходу К(р) та функцією попиту Ф(р) (сукупність всіх можливих векторівпопиту Хі і-го споживача при цінах р). Вважатимемо , що величина доходу К_i(р) кожного споживача складається з двох частин:дохід від продажу його запасів товарів b_i, вартість яких =(b_i,p), та певного доходу I_i(p), отриманого в результаті його участі у процесі виробництва. Таким чином K_i(p) =(b_i,p)+ I_i(p). Припустимо що весь дохід виробничого сектору розподіляється між споживачами, це означає, що для довільного yє Набір (y^*, x^*, p^*) називається конкурентною рівновагою, якщо y^*є , x^*є , x^* y^*, (x^*, p^*)=(y^*, p^*).

19. Модель Ерроу-Дебре

Модель Ерроу-Дебре близька по побудові до моделі Вальраса. Основна відмінність полягає в конкретизації функції доходу споживачів та деяких додаткових припущеннях про початкову власність та характер поведінки споживачів.

Отже, модель Ерроу-Дебре будується на таких додаткових допущеннях стосовно споживачів:

1. де - початковий запас товарів і-го споживача; -доля доходу j-того виробника, яку отримує i-тий споживач; — план j-того виробника;

Таким чином капітал споживача складається з продажу початового запасу товару та участі у прибутках виробничого сектору (як акціонера чи працівника).

2. Множина на якій визначена функція корисності U_i і - того споживача, випукла, замкнута та необмежена, при чому, якщо якась координата прямує до безмежності, то всі інші координати також прямують до безмежності.

3. Функція корисності споживача U_i{x) неперервна і вгнута на .

4. Для довільного і існує такий вектор що .

5. Всякий споживач ненаситний.

Стосовно виробничого сектора приймемо наступні допущення:

1. множина Y_k планів k-того виробника компактна та 0 Y_k,k = .

2. множина випукла.

Як виявляється при прийнятих допущеннях справедлива теорема:

В моделі Ерроу-Дебре існує рівноважний стан.

Доведення цієї теореми базується на теоремі Кукутані про існування так званої нерухомої точки.